Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
T thay mặt bạn Tuấn giúp bạn Tuấn làm bài tập của bạn Tuấn nhé :)
Ta có
\(\frac{m^2}{4}+n^2\ge mn\)
\(\frac{m^2}{4}+p^2\ge mp\)
\(\frac{m^2}{4}+q^2\ge mq\)
\(\frac{m^2}{4}+1\ge m\)
Cộng vế theo vế được
m2 + n2 + p2 + q2 + 1 \(\ge\)m(n + p + q + 1)
ta có : \(\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{2.\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2n+1}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n+1}}< \frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n}}\)
mà \(\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n.\sqrt{n+1}}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|< 1\\\left|b\right|< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left|ab\right|< 1\Rightarrow ab< 1\Rightarrow1-ab>0\)
Do đó BĐT đã cho tương đương:
\(\frac{1}{1-a^2}-\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-b^2}-\frac{1}{1-ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a-b\right)}{\left(1-a^2\right)\left(1-ab\right)}-\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1-b^2\right)\left(1-ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(a-b+a^2b-ab^2\right)}{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\left(1-ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(1+ab\right)}{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\left(1-ab\right)}\ge0\) (luôn đúng với \(\left|a\right|;\left|b\right|< 1\))
Vậy BĐT đã cho được chứng minh
\(b^2+c^2\le a^2\Leftrightarrow\left(\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2\le1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\left(\frac{b}{a}\right)^2=x\\\left(\frac{c}{a}\right)^2=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y\le1\)
\(P=\left(\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)^2=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(P=x+\frac{1}{4x}+y+\frac{1}{4y}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}+2\sqrt{\frac{y}{4y}}+\frac{3}{4}.\frac{4}{\left(x+y\right)}\)
\(P\ge2+\frac{3}{\left(x+y\right)}\ge2+\frac{3}{1}=5\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\) hay \(\left(\frac{b}{a}\right)^2=\left(\frac{c}{a}\right)^2=\frac{1}{2}\Rightarrow b=c=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(n\left(n+2\right)\left(25n^2-1\right)=n\left(n+2\right)24n^2+n\left(n+2\right)\left(n^2-1\right)\)
\(=24n^3\left(n+2\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
thành phần 24n3(n+2) chia hết cho 24.
thành phần sau là tích của 4 số tn liên tiếp nên trong 4 số thì phải có 1 số chia hết cho 3, có 2 số chẵn trong đó 1 số chẵn chia hết cho 4 (vì trong 4 số tn liên tiếp thì có 1 số chia hết cho 4) và một số chẵn còn lại chia hết cho 2 vậy tích 4 số chia hết cho 3x4x2=24.
=>(đpcm)
Giải:
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)
m2+n2+p2+q2+1\(\ge\)m(n+p+q+1)(*)
nhân cả hai vế cho 4 ta được
(*)<=>(m2-4mn+4n2)+(m2-4mp+4p2)+(m2-4mq+4q2)+(m2-4m+4)\(\ge0\)
<=>(m-2n)2+(m-2p)2+(m-2q)2+(m-1)2\(\ge0\)
luôn đúng=>điều phải chứng minh