Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2
Vậy hệ thức đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =
Ta phải chứng minh rằng cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh
Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = Sk + 3k + 2 = + 3k + 2
=
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N*
b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng
, do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh .
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
= (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N*
c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 =
Ta phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = = (k + 1).
= (k + 1)
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N*
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Với n = 1. Vế trái chỉ có một số hạng bằng 2, vế phải bằng \(\dfrac{1.\left(3.1+1\right)}{2}=2\).
Vậy \(VP=VT\). Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử có \(S_k=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}\). Ta phải chứng minh:
\(S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left[3\left(k+1\right)+1\right]}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}\).
Thật vậy ta có:
\(S_{k+1}=S_k+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)
\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\dfrac{2\left(3k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{3k^2+7k+4}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{ }\).
Vậy \(S_n=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\).
b) Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Với n = 1.
VT = 3; VP \(=\dfrac{1}{2}\left(3^2-3\right)=3\).
Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử \(S_k=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3\right)\).
Ta cần chứng minh: \(S_{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1+1}-3\right)=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+2}-3\right)\).
Thật vậy:
\(S_{k+1}=S_k+3^{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3\right)+3^{k+1}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3+2.3^{k+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(3.3^{k+1}-3\right)\)\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+2}-3\right)\).
Vậy \(S_n=\dfrac{1}{2}\left(3^{n+1}-3\right)\).
a) lim \(\frac{\left(2n^2-3n+5\right)\left(2n+1\right)}{\left(4-3n\right)\left(2n^2+n+1\right)}\)
= lim \(\frac{\left(2-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{\left(\frac{4}{n}-3\right)\left(2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}\)
b)lim ( \(\frac{\sqrt{n^4+1}}{n}-\frac{\sqrt{4n^6+2}}{n^2}\))
= lim ( \(\frac{n\sqrt{n^4+1}-\sqrt{4n^6+2}}{n^2}\) )
= lim \(\frac{\left(n^6+n^2\right)-\left(4n^6+2\right)}{n^2\left(n\sqrt{n^4+1}+\sqrt{4n^2+2}\right)}\)
= lim \(\frac{-3n^6+n^2+2}{n^3\sqrt{n^4+1}+n^2\sqrt{4n^2+2}}\)
= lim \(\frac{-3n\left(1-\frac{1}{n^4}-\frac{2}{n^6}\right)}{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}+\frac{1}{n^2}\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}}\)
= lim \(-3n=-\infty\)
c) lim \(\frac{2n+3}{\sqrt{9n^2+3}-\sqrt[3]{2n^2-8n^3}}\)
= lim\(\frac{2+\frac{3}{n}}{\sqrt{9+\frac{3}{n^2}}-\sqrt[3]{\frac{2}{n}-8}}=\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}\)
\(lim\left(5n-\sqrt{25n^2-3n+5}\right)=lim\dfrac{25n^2-25n^2+3n-5}{5n+\sqrt{25n^2-3n+5}}\)
\(=lim\dfrac{3n-5}{5n+\sqrt{25n^2-3n+5}}=lim\dfrac{3-\dfrac{5}{n}}{5+\sqrt{25-\dfrac{3}{n}+\dfrac{5}{n^2}}}=\dfrac{3-0}{5+\sqrt{25-0+0}}=\dfrac{3}{10}\)
\(lim\dfrac{4n^5-3n^4-2n^3+7n-9}{-5n\left(3n^2-3n+1\right)\left(5-2n^2\right)}=lim\dfrac{\dfrac{4n^5-3n^4-2n^3+7n-9}{n^5}}{\dfrac{-5n}{n}\dfrac{\left(3n^2-3n+1\right)}{n^2}\dfrac{\left(5-2n^2\right)}{n^2}}\)
\(=lim\dfrac{4-\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{7}{n^4}-\dfrac{9}{n^5}}{-5.\left(3-\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right).\left(\dfrac{5}{n^2}-2\right)}=\dfrac{4-0-0+0-0}{-5\left(3-0+0\right).\left(0-2\right)}=\dfrac{2}{15}\)
a/ \(lim\left(\sqrt[3]{n-n^3}+n+\sqrt{n^2+3n}-n\right)\)
\(=lim\left(\frac{n}{\sqrt[3]{\left(n-n^3\right)^2}-n\sqrt[3]{\left(n-n^3\right)}+n^2}+\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}\right)\)
\(=lim\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+2n+\frac{1}{n}}+\sqrt[3]{n^3-n}+n}+\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}\right)=0+\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}\)
b/ \(lim\left(\frac{-2\sqrt{n}-4}{\sqrt{n-2\sqrt{n}}+\sqrt{n+4}}\right)=lim\left(\frac{-2-\frac{4}{\sqrt{n}}}{\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1+\frac{4}{n}}}\right)=-\frac{2}{1+1}=-1\)
c/ \(lim\left(\frac{3n^2}{\sqrt[3]{n^6+6n^5+9n^4}+\sqrt[3]{n^6+3n^5}+n^2}\right)=lim\left(\frac{3}{\sqrt[3]{1+\frac{6}{n}+\frac{9}{n^2}}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{n}}+1}\right)=\frac{3}{3}=1\)
d/ \(lim\left(\sqrt[3]{n^3+6n}-n+n-\sqrt{n^2-4n}\right)=lim\left(\frac{6n}{\sqrt[3]{n^6+12n^4+36n^2}+\sqrt[3]{n^6+6n^4}+n^2}+\frac{4n}{n+\sqrt{n^2-4n}}\right)\)
\(=lim\left(\frac{6}{\sqrt[3]{n^3+12n+\frac{36}{n}}+\sqrt[3]{n^3+6n}+n}+\frac{4}{1+\sqrt{1-\frac{4}{n}}}\right)=0+\frac{4}{1+1}=2\)
e/ \(lim\left(\frac{-3.3^n+4.4^n}{5.3^n+\frac{3}{2}.4^n}\right)=lim\left(\frac{-3\left(\frac{3}{4}\right)^n+4}{5.\left(\frac{3}{4}\right)^n+\frac{3}{2}}\right)=\frac{0+4}{0+\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}\)
f/ \(lim\left(\frac{9^n-5.5^n+7.7^n}{9.3^n+5^n+2.8^n}\right)=lim\left(\frac{1-5.\left(\frac{5}{9}\right)^n+7\left(\frac{7}{9}\right)^n}{9.\left(\frac{1}{3}\right)^n+\left(\frac{5}{9}\right)^n+2.\left(\frac{8}{9}\right)^n}\right)=\frac{1}{0}=+\infty\)
g/ \(lim\left(\frac{6.6^n+3^5.9^n}{3^3.9^n-\frac{1}{2}.4^n}\right)=lim\left(\frac{6\left(\frac{2}{3}\right)^n+3^5}{3^3-\frac{1}{2}\left(\frac{4}{9}\right)^n}\right)=\frac{3^5}{3^3}=9\)
\(lim\dfrac{\left(2-n\right)\left(3+2n^3\right)}{2n^2-1}=lim\dfrac{\left(\dfrac{2}{n}-1\right)\left(\dfrac{3}{n}+2n^2\right)}{2-\dfrac{1}{n^2}}=-\infty\)
\(\dfrac{lim\left(\sqrt{4n^2+1}-2n\right)n}{\sqrt[3]{4-n^3}+n}=lim\dfrac{n\left(\sqrt[3]{\left(4-n^3\right)^2}-n\sqrt[3]{4-n^3}+n^2\right)}{4.\left(\sqrt{4n^2+1}+2n\right)}\)
\(=lim\dfrac{\sqrt[3]{\left(n^3-4\right)^2}+n\sqrt[3]{n^3-4}+n^2}{4\left(\sqrt{4+\dfrac{1}{n^2}}+2\right)}=+\infty\)
\(\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}+\dfrac{3\left(n+1\right)!}{n!}=3n\)
\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)n+3\left(n+1\right)=3n\)
\(\Leftrightarrow n^2-n+3n+3=3n\)
\(\Leftrightarrow n^2-n+3=0\)
\(\Rightarrow\)pt vô nghiệm
\(b,lim\dfrac{\left(n^2+1\right)\left(n-10\right)^2}{\left(n+1\right)\left(3n-3\right)^3}\)
\(=lim\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{10}{n^2}\right)^2}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{3}{n^3}\right)}=0\)
Nếu \(n\) chẵn thì đpcm trở thành \(\dfrac{3n+1}{4n-1}\le\dfrac{3n+4}{4n-1}\) \(\Leftrightarrow3n+1\le3n+4\) \(\Leftrightarrow1\le4\), luôn đúng.
Nếu \(n\) lẻ thì đpcm thành \(\dfrac{3n-1}{4n+1}\le\dfrac{3n+4}{4n-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(3n-1\right)\left(4n-1\right)\le\left(4n+1\right)\left(3n+4\right)\)
\(\Leftrightarrow12n^2-3n-4n+1\le12n^2+16n+3n+4\)
\(\Leftrightarrow26n+3\ge0\) (luôn đúng)
Vậy với mọi \(n\inℕ^∗\) thì \(\dfrac{3n+\left(-1\right)^n}{4n-\left(-1\right)^n}\le\dfrac{3n+4}{4n-1}\)