Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:(a10+b10)(a2+b2)-(a8+b8)(a4+b4)
=a12+b12+a2b10+a10b2-a12-b12-a8b4-a4b8
=a2b2(a8+b8-a6b2-a2b6)
=a2b2[a6(a2-b2)-b6(a2-b2)]
=a2b2(a2-b2)(a6-b6)
=a2b2(a2-b2)(a2-b2)(a4+a2b2+b4)
=a2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4)
Do a2b2\(\ge\)0 với mọi a;b
(a2-b2)2\(\ge\)0 với mọi a;b
a4+a2b2+b4>0 với mọi a;b(bình phương thiếu)
=>a2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4)\(\ge\)0 với mọi a;b
=>(a10+b10)(a2+b2)\(\ge\)(a8+b8)(a4+b4)
Ta có bất đẳng thức Bunhiacopski : \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Dấu = xảy ra khi \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
\(\left[\left(a^5\right)^2+\left(b^5\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^6+b^6\right)^2\) (1)
\(\left[\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^6+b^6\right)^2\) (2)
Trừ từng vế của 2 bất đẳng thức (1)(2) ta dược : \(\left[\left(a^5\right)^2+\left(b^5\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)-\left[\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^6+b^6\right)^2-\left(a^6+b^6\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\) \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(2b+3c+2c+3a+2a+3b\right)^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{\left(5a+5b+5c\right)^2}{a+b+c}=\frac{\left[5\left(a+b+c\right)\right]^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{25\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=25\left(a+b+c\right)=VP\)
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Sai đề === khi a=b=1 thì
VT=(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=24=16
VP=1-1=0
a=b+1
=>a-b=1
Suy ra: VT=(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)
=(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)
=(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)
=(a4-b4)(a4+b4)(a8+b8)
=(a8-b8)(a8+b8)
=a16-b16=VP
=>điều phải chứng minh
A) Ta có: \(\frac{\left(x-2\right)\left(x+10\right)}{3}-\frac{\left(x+4\right)\left(x+10\right)}{12}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-2\right)\left(x+10\right)-\left(x+4\right)\left(x+10\right)=3\left(x-2\right)\left(x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+8x-20\right)-\left(x^2+14x+40\right)=3\left(x^2+2x-8\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2+32x-80-x^2-14x-40=3x^2+6x-24\)
\(\Leftrightarrow4x^2-x^2-3x^2+32x-14x-6x=-24+80+40\)
\(\Leftrightarrow12x=96\)
\(\Leftrightarrow x=8\)
Vậy x = 8
B) Ta có: \(\frac{\left(x+2\right)^2}{8}-2\left(2x+1\right)=25+\frac{\left(x-2\right)^2}{8}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2-2.8\left(2x+1\right)=25.8+\left(x-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x+4-32x-16=200+x^2-4x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2-x^2+4x-32x+4x=200+4-4+16\)
\(\Leftrightarrow-24x=216\)
\(\Leftrightarrow x=-9\)
Vậy x = -9