Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2
Vậy hệ thức đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =
Ta phải chứng minh rằng cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh
Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = Sk + 3k + 2 = + 3k + 2
=
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N*
b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng
, do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh .
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
= (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N*
c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 =
Ta phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = = (k + 1).
= (k + 1)
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N*
b)
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
c)
Với \(n=1\)
\(VT=S_n=sinx\); \(VP=\dfrac{sin\dfrac{x}{2}sin\dfrac{2}{2}x}{sin\dfrac{x}{2}}=sinx\)
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\):
Nghĩa là: \(S_{k+1}=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}-S_k\)\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}-\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.\left[sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}-sin\dfrac{kx}{2}\right]\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.2cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sim\dfrac{x}{2}\)\(=2sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}=2sin\left(k+1\right)x\).
Vì vậy \(S_{k+1}=S_k+sin\left(k+1\right)x\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Với n = 1. Vế trái chỉ có một số hạng bằng 2, vế phải bằng \(\dfrac{1.\left(3.1+1\right)}{2}=2\).
Vậy \(VP=VT\). Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử có \(S_k=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}\). Ta phải chứng minh:
\(S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left[3\left(k+1\right)+1\right]}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}\).
Thật vậy ta có:
\(S_{k+1}=S_k+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)
\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\dfrac{2\left(3k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{3k^2+7k+4}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{ }\).
Vậy \(S_n=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\).
b) Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Với n = 1.
VT = 3; VP \(=\dfrac{1}{2}\left(3^2-3\right)=3\).
Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử \(S_k=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3\right)\).
Ta cần chứng minh: \(S_{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1+1}-3\right)=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+2}-3\right)\).
Thật vậy:
\(S_{k+1}=S_k+3^{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3\right)+3^{k+1}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3+2.3^{k+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(3.3^{k+1}-3\right)\)\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+2}-3\right)\).
Vậy \(S_n=\dfrac{1}{2}\left(3^{n+1}-3\right)\).
Câu 2:
\(\left(x^2-3y^2\right)dx+7xydy=0\)
- Với \(x=0\) là 1 nghiệm của pt đã cho
- Với \(x\ne0\)
\(\Leftrightarrow dy+\frac{1}{7}\left(\frac{x^2-3y^2}{xy}\right)dx=0\)
\(\Leftrightarrow dy+\frac{1}{7}\left(\frac{x}{y}-\frac{3y}{x}\right)dx=0\)
Đặt \(u=\frac{y}{x}\Rightarrow y=ux\Rightarrow dy=u.dx+x.du\)
\(\Leftrightarrow u.dx+x.du+\frac{1}{7}\left(\frac{1}{u}-3u\right)dx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{4u^2+1}{7u}\right)dx=-x.du\)
\(\Leftrightarrow\frac{7u.du}{4u^2+1}+\frac{dx}{x}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{7}{8}.\frac{d\left(4u^2+1\right)}{4u^2+1}+\frac{dx}{x}=0\)
Lấy tích phân 2 vế:
\(\Rightarrow\frac{7}{8}\int\frac{d\left(4u^2+1\right)}{4u^2+1}+\int\frac{dx}{x}=C\)
\(\Leftrightarrow\frac{7}{8}ln\left(4u^2+1\right)+ln\left|x\right|=C\)
\(\Leftrightarrow\frac{7}{8}ln\left(\frac{4y^2}{x^2}+1\right)+ln\left|x\right|=C\)
1.
\(x_{n+2}-3x_{n+1}+2x_n=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)
Xét pt thuần nhất: \(x_{n+2}-3x_{n+1}+2x_n=0\)
Pt đặc trưng: \(\lambda^2-3\lambda+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\lambda=1\\\lambda=2\end{matrix}\right.\)
Nghiệm của pt thuần nhất: \(\overline{x_n}=c_1+c_2.2^n\)
- Nghiệm riêng \(x_n^0\)
Do Pt đặc trưng cho nghiệm thực và các hệ số của lượng giác là hằng số bậc 0 nên nghiệm riêng có dạng: \(x_n^0=p.cos\frac{n\pi}{2}+q.sin\frac{n\pi}{2}\) với p;q là các số thực
Thay vào pt:
\(p.cos\frac{\left(n+2\right)\pi}{2}+q.sin\frac{\left(n+2\right)\pi}{2}-3pcos\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}-3q.sin\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}+2p.cos\frac{n\pi}{2}+2q.sin\frac{n\pi}{2}=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)
\(\Leftrightarrow-p.cos\frac{n\pi}{2}-q.sin\frac{n\pi}{2}+3p.sin\frac{n\pi}{2}-3qcos\frac{n\pi}{2}+2p.cos\frac{n\pi}{2}+2q.sin\frac{n\pi}{2}=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(p-3q\right)cos\frac{n\pi}{2}+\left(q+3p\right)\frac{n\pi}{2}=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}p-3q=12\\3p+q=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=\frac{33}{10}\\q=-\frac{29}{10}\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm riêng có dạng:
\(x_n^0=\frac{33}{10}.cos\frac{n\pi}{2}-\frac{29}{10}.sin\frac{n\pi}{2}\)
Nghiệm tổng quát: \(x_n=c_1+c_2.2^n+\frac{33}{10}.cos\frac{n\pi}{2}-\frac{29}{10}.sin\frac{n\pi}{2}\)
Giới hạn của dãy nên bạn tự hiểu n tiến tới dương vô cực
1.
\(lim\frac{3n+1}{\sqrt[3]{\left(n^3+3n+1\right)^2}+n\sqrt{n^3+3n+1}+n^2}=lim\frac{3+\frac{1}{n}}{\sqrt[3]{\frac{\left(n^3+3n+1\right)^2}{n^3}}+\sqrt{n^3+3n+1}+n}=\frac{3}{\infty}=0\)
b=\(lim\left(\sqrt[3]{n^3+2n}-n+n-\sqrt{n^2+1}\right)=lim\left(\frac{2n}{\sqrt[3]{\left(n^3+2n\right)^2}+n\sqrt[3]{n^3+2n}+n^2}-\frac{1}{n+\sqrt{n^2+1}}\right)\)
\(=lim\left(\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{\left(n^3+2n\right)^2}{n^3}}+\sqrt[3]{n^3+2n}+n}-\frac{1}{n+\sqrt{n^2+1}}\right)=0-0=0\)
c\(=lim\left(\frac{2n^2+n}{\sqrt[3]{\left(n^3+n\right)^2}+\sqrt[3]{\left(n^3+n\right)\left(n^3-2n^2\right)}+\sqrt[3]{\left(n^3-2n^2\right)^2}}\right)\)
\(=lim\left(\frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}+\sqrt[3]{\left(1-\frac{2}{n}\right)^2}}\right)=\frac{2}{1+1.1+1}=\frac{2}{3}\)
2.
a\(=lim\left[n\left(2-\sqrt{1+\frac{3}{n}}\right)\right]=+\infty\left(2-1\right)=+\infty\)
\(b=lim\left[n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}-\sqrt{\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)\right]=+\infty\left(1-0\right)=+\infty\)
\(c=lim\left[n^3\left(\frac{sin2n}{n^2}-3\right)\right]=+\infty\left(0-3\right)=-\infty\)