Chứng minh rằng: \(a^4\) + \(b^4\) + \(c^4\) + \(d^4\) \(\ge\) 2( \(a^2b^2\) + \(c^2d^2\) ) \(\ge\) 4...

Chứng minh rằng:\(a^4\)+\(b^4\)+\(c^4\)+\(d^4\)\(\ge...

NH

Nguyễn Hương Giang

2 tháng 4 2019 - olm

Chứng minh rằng:

a^4 + b^4 + c^4 +d^4\(\ge\)4abcd

#Toán lớp 8

1

FS

Fire Sky

2 tháng 4 2019

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

\(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

\(c^4+d^4\ge2c^2d^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)

Mà \(2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2ab.2cd}=4abcd\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Đúng(0)

PH

Phượng Hoàng

22 tháng 9 2018

Chứng minh rằng:

a, \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

b, \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

c, \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

d, \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad\)

#Toán lớp 8

4

LD

Luân Đào

29 tháng 12 2018

a.

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+a^3b\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(*)

Mà \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+2\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}b+\dfrac{b^2}{4}\right)+\dfrac{3b^2}{4}=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\)

Suy ra (*) đúng => đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b

Đúng(0)

LD

Luân Đào

29 tháng 12 2018

b.

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+ab^3+ac^3+a^3b+b^4+bc^3+a^3c+b^3c+c^4\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4\ge ab^3+a^3b+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+ca^3\right)\)

Theo câu a. thì điều này đúng

Dấu "=" khi a=b=c

Đúng(0)

TA

Trần Anh Thơ

24 tháng 4 2020

Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh \(\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3}\) ≥ \(\frac{a+b+c+d}{3}\)

#Toán lớp 8

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

24 tháng 4 2020

\(\frac{a^4}{a^3+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a^3+b^3+b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{a^3.b^3.b^3}}=a-\frac{2}{3}b\)

Tương tự ta có

\(\frac{b^4}{b^3+2c^3}\ge b-\frac{2}{3}c\) ; \(\frac{c^4}{c^3+2d^3}\ge c-\frac{2}{3}d\) ; \(\frac{d^4}{d^3+2a^3}\ge d-\frac{2}{3}a\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge a+b+c+d-\frac{2}{3}\left(a+b+c+d\right)=\frac{a+b+c+d}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

Đúng(0)

TA

Trần Anh Thơ

24 tháng 4 2020

cảm ơn bạn nhé!

Đúng(0)

AV

Ánh Vũ Ngọc

9 tháng 3 2018

1, Chứng minh rằng: a, a\(^2\) + b\(^2\) + 1 \(\ge\) ab + a + b . b, a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\) \(\ge\) a(b + c) . 2, Chứng minh rằng: Với mọi a, b, c thì ta có: a, a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\) +3 \(\ge\) 2(a+b+c). b, (a+b+c)\(^2\) \(\le\) 3 (a\(^2\) + b\(^2\) +c\(^2\)). c, 8(a\(^4\) +b\(^4\)) \(\ge\)...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

3

PN

Phạm Nguyễn Tất Đạt

9 tháng 3 2018

1a)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+b+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

Đúng(0)

PN

Phạm Nguyễn Tất Đạt

9 tháng 3 2018

b)\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+b^2+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+b^2+c^2\ge0\)(luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0

Đúng(0)

CC

Công chúa thủy tề

5 tháng 7 2018 - olm

Biết \(a+b=1\). Chứng minh rằng:

\(a,a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

\(b,a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)

\(c,a^8+b^8\ge\dfrac{1}{128}\)

#Toán lớp 8

2

YY

Yim Yim

5 tháng 7 2018

áp dụng bất đằng thức buinhia

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow1\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right)2\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^2\le2\left(a^4+b^4\right)\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)

bài cuối tương tự

Đúng(0)

HN

Hoàng Ninh

5 tháng 7 2018

a, \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Với mọi a, b ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Mà a + b = 1 \(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Vậy \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)( đpcm )

Các câu b, c tương tự

Đúng(0)

CY

Chuột yêu Gạo

5 tháng 7 2018

Biết \(a+b=1\). Chứng minh rằng:

\(a,a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

\(b,a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)

\(c,a^8+b^8\ge\dfrac{1}{128}\)

#Toán lớp 8

1

MS

Mashiro Shiina

5 tháng 7 2018

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

\(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{8}\)

\(a^8+b^8\ge\dfrac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{128}\)

Đúng(0)

DF

Dark❄Rain🏴‍☠️( Fire⭐Star )

25 tháng 7 2019 - olm

Chứng minh rằng : a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ \(\ge\)4abcd

#Toán lớp 8

7

T

T.Ps

25 tháng 7 2019

#)Giải :

Áp dụng BĐT Cauchy 2 số :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\left(đpcm\right)\)

Đúng(0)

NL

Nguyễn Linh Chi

25 tháng 7 2019

Với mọi a, b, c, d

ta có: \(0\le\left(a^2-b^2\right)^2=a^4-2a^2b^2+b^4\)

=> \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

tương tự: \(c^4+d^4\ge2c^2d^2\)

\(a^2b^2+c^2d^2\ge2abcd\)

=> \(\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge4abcd\)

Vậy ta có điều cần phải chứng minh.

Đúng(0)

MN

Minh Nguyễn

28 tháng 4 2017

Chứng minh a⁴ + b⁴+ c⁴ + d⁴\(\ge\) 4abcd

#Toán lớp 8

2

NT

Nguyễn Tấn Tài

28 tháng 4 2017

Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^4\cdot d^4}=4abcd\)

Vậy \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Đúng(0)

XT

Xuân Tuấn Trịnh

28 tháng 4 2017

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số không âm ta có:

a⁴+b⁴\(\ge\)2a²b²

c⁴+d⁴\(\ge\)2c²d²

=>a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)2(a²b²+c²d²)(1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT coossi cho 2 số không âm ta có:

a²b²+c²d²\(\ge\)2abcd

=>(1) tương đương a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)4abcd

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=cd\\a^2=b^2\\c^2=d^2\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-b\\c=-d\end{matrix}\right.\)hoặc\(\left\{{}\begin{matrix}-a=b\\c=-d\end{matrix}\right.\)hoặc\(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\c=d\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Đúng(0)

HT

hoàng thiên

14 tháng 4 2019

chứng minh : nếu a≤b thì \(\frac{-2}{3}\)a+4≥\(-\frac{2}{3}b\)+4

cho a,b là các số dương.Chứng minh rằng:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

#Toán lớp 8

1

Y

14 tháng 4 2019

a) \(a\le b\) \(\Rightarrow-a\ge-b\)

\(\Rightarrow-\frac{2}{3}a\ge-\frac{2}{3}b\) ( theo liên hệ giữa thứ tự và phép nhân )

\(\Rightarrow-\frac{2}{3}a+4\ge-\frac{2}{3}b+4\)

b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng mà các biến đổi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Đúng(0)

HT

Hoàng Thùy Linh

26 tháng 5 2020

CMR:

a,(\(a^4+b^4\)) ≥ \(\left(a+b\right)^4\)

b,\(\left(a^2+b^2\right)\)≥ \(ab\left(a+b\right)^2\)

c, \(a^2+b^2+c^2\)≥ a(b+c)

d, \(a^2+b^2+c^2+d^2\)≥ a(b+c+d)

#Toán lớp 8

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP