Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tham khảo nhé!Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Gọi A là vế trái của bất đăng thức trên . ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội , để chứng minh A< b , ta làm trội A thành C ( A<C ) rồi chứng minh C>= B ( biểu thức C đóng vai trò là biểu thức trung gian để so sánh A và B)
làm trội mỗi phân số ở A bằng cách làm giảm các mẫu , ta có
\(\frac{1}{k^3}\)< \(\frac{1}{k^3-k}\)= \(\frac{1}{k\left(k^2-1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}\)
do đó
A < \(\frac{1}{2^3-2}\)+ \(\frac{1}{3^3-3}\)+.....+\(\frac{1}{n^3-n}\)= \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+ .....+ \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
đặt C = \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+.....+\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\), nhận xét rằng
\(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)- \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
nên C = \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{1.2}\)- \(\frac{1}{2.3}\)-......- \(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)-\(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{4}\)- \(\frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)< \(\frac{1}{4}\)
vậy ta có điều phải chứng minh
Lời giải:
Xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{n^3}\)
\((n-1)(n+1)=n^2-1< n^2\)
\(\Rightarrow (n-1)n(n+1)< n^3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n-1)n(n+1)}>\frac{1}{n^3}\)
Thay $n=2,3,4,.....$. Khi đó ta có:
\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}<\underbrace{ \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n(n+1)}}_{A}(*)\)
Mà:
\(2A=\frac{3-1}{1.2.3}+\frac{4-2}{2.3.4}+....+\frac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)n(n+1)}\)
\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{n(n+1)}< \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}(**)\)
Từ \((*) ;(**)\Rightarrow \frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{4}\)
Ta có đpcm.
Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé!