Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Với \(n=4\).
\(3^{n-1}=3^{4-1}=3^3=27\); \(n\left(n+2\right)=4.\left(4+2\right)=24\).
Suy ra: \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với n = 4.
Giả sử điều phải chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(3^{k+1-1}>\left(k+1\right)\left(k+1+2\right)\)\(\Leftrightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k\)\(=k^2+4k+3+2k^2+2k-3\)\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\).
Với \(k\in N^{\circledast}\) thì \(2k^2+2k-3>0\) nên \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge4\).
b)
Với \(n=8\)
\(2^{n-3}=2^{8-3}=2^5=32\); \(3n-1=3.8-1=23\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=8\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\left(k\ge8\right)\).
Nghĩa là: \(2^{k-3}>3k-1\).
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1-3}>3\left(k+1\right)-1\)\(\Leftrightarrow2^{k-2}>3k+2\).
Thật vậy \(2^{k-2}=2.2^{k-3}>2\left(3k-1\right)=6k-2\)\(=3k+2+3k-4\).
Do \(k\ge8\) nên \(k-4>0\) vì vậy \(2^{k-2}>3k+2\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge8\).
a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2
Vậy hệ thức đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =
Ta phải chứng minh rằng cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh
Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = Sk + 3k + 2 = + 3k + 2
=
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N*
b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng
, do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh .
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
= (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N*
c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 =
Ta phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = = (k + 1).
= (k + 1)
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N*
2n + 1 > 2n + 3 (2)
+ Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).
+ Giả sử (2) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3.
Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2k+2 > 2(k+ 1)+ 3
Thật vậy, ta có:
2k + 2 = 2.2k + 1
> 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.
> 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3 ( Vì 2k + 4 >3 với mọi k ≥ 2)
⇒ (2) đúng với n = k + 1.
Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.
Phân tích nhân tử nhầm=>giải lại
\(A=2n^2-3n^2+n=n\left(2n^2-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n+1\right)\)\(A=n\left(n-1\right)\left(2n+2-3\right)=\left[2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]-3\left(n\right)\left(n-1\right)=2B-3C\)
\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮3\\C⋮2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2B⋮6\\3C⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A⋮6\) => dpcm
Lời giải:
\(A=n\left(2n^3-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n^2+2n-1\right)\)
\(A=n\left(n-1\right)\left[2n\left(n+1\right)-1\right]=2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)=B-C\)\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮2\\B⋮3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow B⋮6\forall n\in N\)
\(C=n\left(n-1\right)\) không thể chia hết cho 6 với mọi n thuộc N
\(\Rightarrow A\) chỉ chia hết cho 6 với điều kiện \(n\ne3k+2\)
ví dụ đơn giải với k=0 => n= 2
\(A=2.2^3-3.2^2+2=14⋮̸6\)
Kết luận đề sai
a)
Với \(n=1\) .
\(2^n=2^2=4;2n+1=2.2+1=5\).
Với n = 1 thì \(2^n< 2n+1\).
Với \(n=2\)
\(2^n=2^3=8;2n+1=2.3+1=7\)
Với n = 2 thì \(2^n>2n+1\).
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp giả thiết:
Với \(n\ge2\) thì \(2^n>2n+1\). (*)
Với n = 2 (*) đúng .
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(2^k>2k+1\).
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1}>2\left(k+1\right)+1\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(2^{k+1}=2.2^k>2.\left(2k+1\right)=4k+2>2\left(k+1\right)+1\) (với \(k\ge2\)).
Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n.
b)
Tương tự như câu a ta kiểm tra được với \(n\ge7\) thì \(2^n>n^2+4n+5\). (*)
Với n = 7.
\(2^7=128\); \(n^2+4n+5=7^2+4.7+5=82\).
Vì \(2^7>7^2+4.7+7\) nên (*) đúng với n = 7.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(2^k>k^2+4k+5\).
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1}>\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp suy ra:
\(2^{k+1}=2.2^k>2\left(k^2+4k+5\right)=2k^2+8k+10\)
\(=\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5+k^2+2k\)\(>\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge7\).
Chứng minh: 3n > 3n + 1 (1)
+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).
+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3k > 3k + 1.
Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3k+ 1 > 3(k+1) + 1
Thật vậy, ta có:
3k + 1 = 3.3k > 3.(3k + 1) (Vì 3k > 3k + 1 theo giả sử)
= 9k + 3
= 3k + 3 + 6k
= 3.(k + 1) + 6k
> 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)
⇒ (1) đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.
a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
3k > 3k + 1
Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:
3k + 1 > 9k + 3 <=> 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.
Vì 6k - 1 > 0 nên
3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.
tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
2k + 1 > 2k + 3 (2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh
2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:
2k + 2 > 4k + 6 <=> 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.
Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5
Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.