Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a_1}{2-a_1}+\dfrac{a_2}{2-a_2}+...+\dfrac{a_n}{2-a_n}\ge\dfrac{n}{2n-1}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2_1}{2a_1-a^2_1}+\dfrac{a^2_2}{2a_2-a^2_2}+...+\dfrac{a^2_n}{2a_n-a^2_2}\ge\dfrac{n}{2n-1}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\dfrac{a^2_1}{2a_1-a^2_1}+\dfrac{a^2_2}{2a_2-a^2_2}+...+\dfrac{a^2_n}{2a_n-a^2_2}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{2\left(a_1+a_2+...+a_n\right)-\left(a^2_1+a^2_2+...+a_n^2\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2_1}{2a_1-a^2_1}+\dfrac{a^2_2}{2a_2-a^2_2}+...+\dfrac{a^2_n}{2a_n-a^2_2}\ge\dfrac{1}{2-\left(a^2_1+a^2_2+...+a_n^2\right)}\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2-\left(a^2_1+a_2^2+...+a^2_n\right)}\ge\dfrac{n}{2n-1}\)
\(\Leftrightarrow2n-1\ge n\left[2-\left(a^2_1+a^2_2+...+a^2_n\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow2n-1\ge2n-n\left(a^2_1+a^2_2+...+a^2_n\right)\)
\(\Leftrightarrow-1\ge-n\left(a^2_1+a^2_2+...+a^2_n\right)\)
\(\Leftrightarrow1\le n\left(a^2_1+a^2_2+...+a^2_n\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{n}\le a^2_1+a^2_2+...+a^2_n\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow VP=\dfrac{a^2_1}{1}+\dfrac{a^2_2}{1}+...+\dfrac{a^2_n}{1}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{n}=\dfrac{1}{n}\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Vậy \(\dfrac{1}{2-\left(a^2_1+a_2^2+...+a^2_n\right)}\ge\dfrac{n}{2n-1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a_1}{2-a_1}+\dfrac{a_2}{2-a_2}+...+\dfrac{a_n}{2-a_n}\ge\dfrac{n}{2n-1}\) ( đpcm )
a) Đặt \(d=\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=dx_1\\a_2=dx_2\\...\\a_n=dx_n\end{matrix}\right.\) (với \(\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=1\)).
Ta có \(A_i=\dfrac{A}{a_i}=\dfrac{d^nx_1x_2...x_n}{dx_i}=d^{n-1}\dfrac{x_1x_2...x_n}{x_i}=d^{n-1}B_i\forall i\in\overline{1,n}\).
Từ đó \(\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=d^{n-1}\left[B_1,B_2,...,B_n\right]\).
Mặt khác do \(\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=1\Rightarrow\left[B_1,B_2,...B_n\right]=x_1x_2...x_n\).
Vậy \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=d.d^{n-1}x_1x_2...x_n=d^nx_1x_2...x_n=A\).
Sửa đề: n \(\ge1\).
Với n =1, bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
Với n =2, cần chứng minh: \(2\left(a_1^2+a_2^2\right)\ge\left(a_1+a_2\right)^2\Leftrightarrow\left(a_1-a_2\right)^2\ge0\) (đúng)
Giả sử nó đúng đến n = k, tức là ta có: \(k\left(a_1^2+a_2^2+...+a_k^2\right)\ge\left(a_1+a_2+...+a_k\right)^2\)
Hay là: \(\left(a_1^2+a_2^2+...+a_k^2\right)\ge\frac{\left(a_1+a_2+...+a_k\right)^2}{k}\)
Ta c/m nó đúng với n = k +1 or \(\left(k+1\right)\left(a_1^2+a_2^2+...+a_k^2+a_{k+1}^2\right)\ge\left(a_1+a_2+...+a_k+a_{k+1}\right)^2\)
Ta có: \(VT=\left(k+1\right)\left(a_1^2+a_2^2+...+a_k^2+a_{k+1}^2\right)\)
\(\ge\left(k+1\right)\left[\frac{\left(a_1+a_2+...+a_k\right)^2}{k}+\frac{a^2_{k+1}}{1}\right]\ge\frac{\left(k+1\right)\left(a_1+a_2+..+a_k+a_{k+1}\right)^2}{k+1}=VP\)
Vậy đpcm là đúng.
P/s: Chả biết đúng không, chưa check, đại khái hướng làm là dùng quy nạp.
mày bị điên đứa nào thích thì mà đứa nào chơi truy kích cho tao nick
Cái đầu tiên là \(\sqrt[n]{\frac{a_1^n+a_2^n+a_3^n+...+a_n^n}{n}}\)nhé.