TT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 4 2019
Lời giải:
Xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{n^3}\)
\((n-1)(n+1)=n^2-1< n^2\)
\(\Rightarrow (n-1)n(n+1)< n^3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n-1)n(n+1)}>\frac{1}{n^3}\)
Thay $n=2,3,4,.....$. Khi đó ta có:
\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}<\underbrace{ \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n(n+1)}}_{A}(*)\)
Mà:
\(2A=\frac{3-1}{1.2.3}+\frac{4-2}{2.3.4}+....+\frac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)n(n+1)}\)
\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{n(n+1)}< \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}(**)\)
Từ \((*) ;(**)\Rightarrow \frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{4}\)
Ta có đpcm.
N
28 tháng 3 2019
-Với n=1, ta thấy bthức đúng.
-Với n=k, có: \(\frac{1}{4+1^4}+\frac{3}{4+3^4}+...+\frac{2k-1}{4+\left(2k-1\right)^4}=\frac{k^2}{4k^2+1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4k^2+1}\)
-Giả sử bthức đúng với n=k+1, có:
\(\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4\left(k+1\right)^2+1}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4k^2+1}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4k^2+1}-\frac{1}{4\left(k+1\right)^2+1}\right)\)
\(=\frac{2k+1}{\left(4k^2+1\right)\left(4\left(k+1\right)^2+1\right)}=\frac{2k+1}{4+\left(2k+1\right)^4}\)
Vậy ta có đpcm.
14 tháng 1 2019
\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\)
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{n}\)
\(A< 1-\frac{1}{n}< 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \frac{2}{3}\)
đpcm
22 tháng 2 2017
Gọi A là vế trái của bất đăng thức trên . ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội , để chứng minh A< b , ta làm trội A thành C ( A<C ) rồi chứng minh C>= B ( biểu thức C đóng vai trò là biểu thức trung gian để so sánh A và B)
làm trội mỗi phân số ở A bằng cách làm giảm các mẫu , ta có
\(\frac{1}{k^3}\)< \(\frac{1}{k^3-k}\)= \(\frac{1}{k\left(k^2-1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}\)
do đó
A < \(\frac{1}{2^3-2}\)+ \(\frac{1}{3^3-3}\)+.....+\(\frac{1}{n^3-n}\)= \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+ .....+ \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
đặt C = \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+.....+\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\), nhận xét rằng
\(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)- \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
nên C = \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{1.2}\)- \(\frac{1}{2.3}\)-......- \(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)-\(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{4}\)- \(\frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)< \(\frac{1}{4}\)
vậy ta có điều phải chứng minh
19 tháng 8 2019
BN thử vào câu hỏi tương tự xem có k?
Nếu có thì bn xem nhé!
Nếu k thì xin lỗi đã làm phiền bn
Hội con 🐄 chúc bạn học tốt!!!