Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)
Theo bài ra, ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì (a-b)2 chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.
_ Gọi phân số dương là abab (a>0;b>0)
_ Số nghịch đảo của abab là baba
Điều kiện: a≥b, a=b+m(m≥0)
Theo đề bài, ta có:
abab+ baba =b+mbb+mb +bb+mbb+m =1+mbmb +bb+mbb+m
≥ 1+mb+mmb+m +bb+mbb+m =1+m+bm+bm+bm+b
≥1+1≥2abab+baba ≥2
Vậy abab +baba ≥2
Cái này có phần hẳn hoi chứ ko phải phép tính bình thường nha! Nhưng mình lười lắm nên bạn tự phát hiện nha,có gì ko hiểu mình chỉ cho
gọi p/s đó là a/b (a;b \(\in\) Z,b \(\ne\) 0)
Ta cần c/m \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Nhân cả 2 vế cho ab,ta đc:
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (dấu "=" xảy ra <=>a=b0
BĐT cuối luôn đúng,ta có đpcm
Gọi phân số dương là \(\frac{a}{b}\).Không mất tích tổng quát giả sử a>0,b>0 và a\(\ge\) b.Ta có thể viết a=b+m(m\(\ge\) 0).Ta có;
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{m+b}\)
=\(1+\frac{m}{b}+\frac{b}{m+b}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}\)
=\(1+\frac{m+b}{b+m}=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Giả sử phân số và nghịch đảo của nó là: \(\frac{a}{b};\frac{b}{a}\)
Do phân số dương nên( a;b) cùng dấu hay a.b>0
Ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Do đó: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
A=1/2.2+1/3.3+1/4.4+..+1/20.20
NX : 1/2.2<1/1.2
1/3.3<1/2.3
1/4.4<1/3.4
....
1/20.20<1/19.20
suy ra: A<1-1/20
suy ra : A< 19/20
NX: Vì A<19/20 mà 19/21<19/20
suy ra 19/21>A (đpcm)