Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\geq 2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=2\sqrt{\frac{1}{c^2}}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq 2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge 2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{c}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{b^2}}=\frac{2}{b}\)
Cộng các BĐT trên theo vế và rút gọn
\(\Rightarrow \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta ccó :
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=2\sqrt{\frac{1}{c^2}}=\frac{2}{c}\)(1)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{2}{a}\)(2)
\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{c}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{b^2}}=\frac{2}{b}\)(3)
Cộng vế với vế của (1);(2);(3) lại ta được :
\(\frac{2a}{bc}+\frac{2b}{ac}+\frac{2c}{ab}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(đpcm)
Nội suy Sửa đề làm cho bạn
Bài 1:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{26}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2009}\)Nhân 2 chuyển Vế
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac-\left[\dfrac{\left(a-b\right)^2}{13}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{3}+\dfrac{2\left(c-a\right)^2}{2009}\right]\ge0\)Ghép Bình phướng
\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2-\left[\dfrac{\left(a-b\right)^2}{13}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{3}+\dfrac{2.\left(c-a\right)^2}{2009}\right]\ge0\)Ghép nhân tử
\(\left[\left(a-b\right)^2\left(1-\dfrac{1}{13}\right)+\left(b-c\right)^2\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(c-a\right)^2\left(1-\dfrac{2}{2009}\right)\right]\ge0\)
Thu gọn có thể không cần
\(\left[\left(a-b\right)^2\left(\dfrac{12}{13}\right)+\left(b-c\right)^2\left(\dfrac{2}{3}\right)+\left(c-a\right)^2\left(\dfrac{207}{2009}\right)\right]\ge0\)VT là tổng 3 số không âm
Đẳng thức khi a=b=c
=> dpcm
BDT
\(x+\dfrac{1}{x}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+2\ge2\)
nhân PP vào là ra
\(\left(a+b+c\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3+2+2+2=9\)
Theo BĐT Cauchy:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a}{bc}\cdot\dfrac{b}{ac}}=\dfrac{2}{cc}\)
\(\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{bc}{ca\cdot ab}}=\dfrac{2}{a}\)
\(\dfrac{c}{ab}+\dfrac{a}{bc}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a\cdot c}{a\cdot b\cdot c\cdot b}}=\dfrac{2}{b}\)
=>a/bc+b/ac+c/ab>=2(1/a+1/b+1/c)
sao ra đc thế bn, đề bị sai mà