Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\left(x+y+z\right)^3-x^2-y^3-z^3\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-x^3-y^3-z^3\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=VP\)
=> đpcm
=.= hok tốt!!
Đặt: \(A=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Xét: \(\left(x+y+z\right)^3=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3=\left(x+y\right)^3+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\)
\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x+y\right)\left(xy+xz+yz+z^2\right)\)
\(=\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x+y\right)\left[\left(xy+yz\right)+\left(xz+z^2\right)\right]\)
\(=\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x+y\right)\left[y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\right]\)
\(=\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
=> ĐPCM
\(VT=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left(x+y+z-x\right)^3+3\left(x+y+z\right)x\left(x+y+z-x\right)-\left(y^3+z^3\right)\)
\(=\left(y+z\right)^3+3\left(x+y+z\right)x\left(y+z\right)-\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)\)
\(=\left(y+z\right)\left(y^2+2yz+z^2+3x^2+3xy+3xz-y^2+yz-z^2\right)\)
\(=\left(y+z\right)\left(3yz+3x^2+3xy+3xz\right)\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=VP\left(\text{ĐPCM}\right)\)
Làm như vầy là sai hướng rồi.
Tham khảo :
\(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left[\left(x+y+z\right)-x\right]\left[\left(x+y+z\right)^2+x^2+x\left(x+y+z\right)\right]-\left(y+z\right)\left(y^2+z^2-yz\right)\)
\(=\left(y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+x^2+xy+yz+xz\right]-\left(y+z\right)\left(y^2+z^2-yz\right)\)
\(=\Rightarrow\left(y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+x^2+xy+yz+xz-y^2-z^2+yz\right]\)
\(=\left(y+z\right)\left[3x^2+3xy+3yz+3xz\right]\)
\(=3\left(y+z\right)\left[\left(x^2+xy\right)+\left(yz+xz\right)\right]\)
\(=3\left(y+z\right)\left[x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)
Xét các biểu thức :
\(x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+\left(-x-y\right)^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)\)
\(=\left(x+y\right)\left(-3xy\right)=-3xy.\left(-z\right)=3xyz\)
\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+\left(-x-y\right)^2=2\left(x^2+y^2+xy\right)\)
Do đó VT có giá trị là \(5.\left(3xyz\right).2\left(x^2+y^2+xy\right)=30xyz\left(x^2+y^2+xy\right)\)
Xét VP:
\(x^5+y^5+z^5=\left(x^5+y^5\right)+\left(-x-y\right)^5\)
\(=x^5+y^5-\left(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\right)\)
\(=-5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)\)
\(=-5xy.\left[\left(x+y\right)^3-xy\left(x+y\right)\right]\)
\(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2-xy\right)\)
\(=5xyz\left(x^2+xy+y^2\right)\)
Do đó VP là \(30xyz\left(x^2+y^2+xy\right)\)
Suy ra điều phải chứng minh.
Ngoài ra đây cũng là một dạng của nó: Câu hỏi của titanic - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath (chắc hẵn có bạn thắc mắc tại sao mình phân tích "tài tình" như thế) . Bây giờ mình giải thích:
Khi quy đồng lên: \(VT-VP=\frac{ab^2+bc^2+ca^2-3abc}{abc}\)
Đặt cái tử số = f(a;b;c). Ta sẽ biểu diễn nó dưới dạng sos dao lam:
Ta tìm được 2 các biểu diễn:
\(f\left(a;b;c\right)=b\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)\left(a^2+b^2+bc-3ab\right)\)
\(f\left(a;b;c\right)=c\left(a+b-2c\right)^2+\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(4c-b\right)\)
Từ 2 cái trên ta tiến hành nhân chia các kiểu và tìm được:
\(f\left(a;b;c\right)=\frac{b\left(c-a\right)\left(4c-b\right)\left(a-b\right)^2+c\left(a^2+b^2+bc-3ab\right)\left(a+b-2c\right)^2}{\left(c-a\right)\left(4c-b\right)+\left(a^2+b^2+bc-3ab\right)}\)
Từ đó dẫn đến cách làm ở bài trên.
Theo mình, với trình độ THCS thì việc tìm ra 2 cách biểu diễn trên là khá khó khăn (mất nhiều thời gian, nhất là khi không sử dụng Wolfram|Alpha: Computational Intelligence để phân tích thành nhân tử). Theo ý kiến chủ quan, thì đó chính là nhược điểm của phương pháp này.
Tuy nhiên nó lại hay ở chỗ: Không bị cứng nhắc về cách biểu diễn, mình có thể biểu diễn dưới dạng tổng 2 bình phương or các kiểu tương tự bên dưới:v trong khi đó SOS thông thường cần tới 3 bình phương or các kiểu tổng quát như: \(S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(c-a\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\ge0\)