Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\)
Ta có
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
=> ĐPCM
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+....+\frac{1}{200^2}< \frac{1}{200^2}+\frac{1}{200^2}+...+\frac{1}{200^2}\left(100\text{số hạng}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+....+\frac{1}{200^2}< \frac{100}{200^2}< \frac{100}{200}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+....+\frac{1}{200^2}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
bài tớ sai rồi -_-' chưa lại hộ
\(=\frac{1}{2^2}.\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)< \frac{1}{2^2}.\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1.2}+...+\frac{1}{99.100}\right)\)
\(=\frac{1}{2^2}.\left(1+1-\frac{1}{100}\right)=\frac{1}{4}.2-\frac{1}{400}=\frac{1}{2}-\frac{1}{400}< \frac{1}{2}\)
Câu 2 nè:
Ta có:2006 = 2.17.59
Để q chia hết cho 2006 thì n(n+1)...(n+9) chia hết cho 2006
Với n<50 thì n, (n+1), ... (n+9) < 59 nên ko thoả mãn.
Với n=50: thì n+1 = 51 chia hết cho 17; n+9=59 chia hết cho 59
suy ra n(n+1)...(n+9) chia hết cho 2006
* Ta sẽ chứng minh n=50 là số tự nhiên nhỏ nhất thoả mãn.
- Đặt S = \(\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+...+\frac{1}{59}\)
\(\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+...+\frac{1}{58}=\frac{A}{B}\)(trong đó B ko chia hết 59)
\(\Rightarrow S=\frac{A}{B}+\frac{1}{59}=\frac{\left(59A+B\right)}{59B}=\frac{p}{q}\)
hay (59A + B)q = 59Bp hay Bq = 59(Bp - Aq)
Do B ko chia hết 59 suy ra q chia hết 59.
- Đặt \(\frac{1}{50}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{58}=\frac{C}{D}\) ta cũng có D ko chia hết cho 17
Chứng minh tương tự suy ra q chia hết cho 59, 17, 2
=>đpcm
nếu đề có thêm điều kiện n nhỏ nhất thì làm như vậy còn ko thì chỉ chép đến chỗ dấu "'*" thui
Ta có :
\(P=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(P< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}< 1\)
Vậy \(P=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\)
Chúc bạn học tốt ~
bạn nói với cô giáo là :
bài này nhìn là đủ biết không cần phải chứng minh
tử số bé hơn mẫu số gần trăm lần :) éo bao giờ > 1 được :)
Nhan xet:
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{3.4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)
...
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{100.101}=\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)
Vay: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)
\(P< \frac{1}{2}-\frac{1}{101}=\frac{99}{202}< 1\)
1/2^2 < 1/(1.2)= 1-1/2
1/3^2 <1/(2.3)=1/2-1/3
1/4^2 <1/(3.4)=1/3-1/4
......
1/100^2 < 1/99-1/100
cộng vế với vế ta được 1/2^2 +1/3^2+...< 1-1/2+1/2-1/3+....+1/99-1/100=1-1/100
=> ĐPCM
Đặt :
\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.........+\frac{1}{100^2}\)
Ta thấy :
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
................
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Leftrightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...........+\frac{1}{99.100}\)
\(\Leftrightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.......+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Leftrightarrow A< 1-\frac{1}{100}< 1\)
\(\Leftrightarrow A< 1\)
Ta có:
\(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2ac+2bc-2ab\)
Mà \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}< 2\)
\(\Rightarrow2ac+2bc-2ab< 2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
a) 1 + 3 + 32 + 33 + ... + 311
= (1 + 3 + 32 + 33) + ... + (38 + 39 + 310 + 311)
= 40 + ... + 38.(1 + 3 + 32 + 33)
= 40 + ... + 38. 40
= (1 + ... + 38) . 40 \(⋮\)40
b) Ta có: B = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
=> B = \(\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{100.100}\)< \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{99.100}\)
=> B < \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
=> B <\(1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)-...-\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{99}\right)-\frac{1}{100}\)
=> B < \(1-\frac{1}{100}\)
=> B < 1