Question

[Phạm Phương Anh]

Chứng minh rằng nếus của n > 4 là hợp số thì n là ước của (n - 1)!

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Với $n$ là hợp số mà lớn hơn $4$ ta luôn biểu diễn được $n$ dưới dạng $n=ab$ ($a,b\in\mathbb{N}\geq 2; a\neq b$)

Ta có:

\(n-1=ab-1\geq 2a-1=a+a-1>a\)

\(n-1=ab-1\geq 2b-1=b+b-1>b\)

Do đó trong chuỗi tích $(n-1)!=1.2....(n-1)$ chắc chắn có chứa thừa số $a,b$

\(\Rightarrow (n-1)!\vdots ab\) hay \((n-1)!\vdots n\) (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Với $n>4$ và là hợp số, ta có thể biểu diễn $n=ab$ với $(a,b\in\mathbb{N}\geq 2$)

Nếu $a\neq b$: Ta thấy:

\(n-1=ab-1\geq 2a-1>a\)

\(n-1=ab-1\geq 2b-1>b\)

Do đó trong chuỗi tích $(n-1)!=1.2...(n-1)$ chắc chắn chứa 2 thừa số $a$ và $b$

\(\Rightarrow (n-1)!\vdots (ab)\) hay $(n-1)!\vdots n$

Nếu $a=b\rightarrow n=a^2$. Vì $a>4$ nên $a>2$ hay $a-2\geq 1$

Ta thấy : \(n-1-2a=ab-1-2a=a^2-1-2a=a(a-2)-1\geq a-1>0\)

\(\Rightarrow n-1>2a\)

Do đó trong chuỗi tích $(n-1)!=1.2...(n-1)$ chắc chắn có chứa thừa số $2a$ và $a$

\(\Rightarrow (n-1)!\vdots a^2\) hay $(n-1)!\vdots n$

Ta có đpcm.