K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KC
7
8 tháng 10 2017
a) ta có : \(\left(1-2x\right)\left(x-1\right)-5=x-1-2x^2+2x-5\)
\(=-2x^2+3x-6=-\left(2x^2-3x+6\right)=-\left(\left(\sqrt{2}x\right)^2-2.\sqrt{2}.\dfrac{3}{2\sqrt{2}}x+\left(\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2+\dfrac{39}{8}\right)\)
\(=-\left(\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2+\dfrac{39}{8}\right)=-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2-\dfrac{39}{8}\)
ta có : \(\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2\ge0\) với mọi \(x\) \(\Rightarrow-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2\le0\) với mọi \(x\)
\(-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2-\dfrac{39}{8}\le\dfrac{-39}{8}< 0\) với mọi \(x\)
vậy \(\left(1-2x\right)\left(x-1\right)-5< 0\) (đpcm)
b) ta có : \(-x^2-y^2+2x+2y-3\)
\(=\left(-x^2+2x-1\right)+\left(-y^2+2y-1\right)-1\)
\(=-\left(x^2-2x+1\right)-\left(y^2-2y+1\right)-1=-\left(x-1\right)^2-\left(y-1\right)^2-1\)
ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge\forall x\\\left(y-1\right)^2\ge\forall y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\left(x-1\right)^2\le0\forall x\\-\left(y-1\right)^2\le0\forall y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-\left(x-1\right)^2-\left(y-1\right)^2\le0\) với mọi \(x;y\)
\(\Leftrightarrow-\left(x-1\right)^2-\left(y-1\right)^2-1\le-1< 0\) với mọi \(x;y\)
vậy \(-x^2-y^2+2x+2y-3< 0\) (đpcm)
8 tháng 10 2017
\(a,A=\left(1-2x\right)\left(x-1\right)-5\)
\(=x-1-2x^2+2x-5\)
\(=-2x^2+3x-6\)
\(=-\left(2x^2-3x+\dfrac{9}{8}\right)-\dfrac{39}{8}\)
\(=-\left[\left(\sqrt{2}x\right)^2-2.\sqrt{2}x.\dfrac{3}{2\sqrt{2}}+\left(\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2\right]-\dfrac{39}{8}\)
\(=-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2-\dfrac{39}{8}\)
Ta có :
\(-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2\le0\) \(\Rightarrow-\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2-\dfrac{39}{8}\le-\dfrac{39}{8}\)
Hay A \(\le-\dfrac{39}{8}\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}x-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2}x=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}:\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}\)
Vậy \(Min_A=-\dfrac{39}{8}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}\)
NS
0
NV
1
TN
13 tháng 6 2016
Ta biến đổi 1 tí nhé
\(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
Tới đây dễ dàng áp dụng BĐT \(\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}\le\frac{3}{4}.\frac{1}{a}+\frac{3}{4}.\frac{1}{b}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{b+c}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{b}+\frac{1}{2}.\frac{1}{c}\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{a}+\frac{1}{4}.\frac{1}{c}\left(3\right)\)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) suy ra
\(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{a}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{c}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{a}+\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{b}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow Dpcm\)
HD
1
8 tháng 11 2017
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương, ta có:
\(18x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{18x.\frac{2}{x}}=12\)
Chứng minh tương tự, ta có
\(18y+\frac{2}{y}\ge12\)
\(18z+\frac{2}{z}\ge12\)
Từ đó suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge36\)(*)
Lại có \(x+y+z\le1\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-1\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(x+y+z\right)\ge36-1\)
\(\Leftrightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)
Vậy \(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)với \(x+y+z\le1\)
GD
1
23 tháng 10 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Ta có : \(x+y\le1\)
=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)
=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )
=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2
SL
1
LH
0
NH
0