Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có : x=2010
->x-1=2009
A(x)=x2010-(x-1).x2009 -(x-1).x2008 -...-(x-1).x+1
A(x)=x2010-x2010+x2009-x2009+x2008-...-x2+x+1
A(x)=x+1=2010+1=2011
Ta có :
\(\frac{1}{5^2}>\frac{1}{5.6}\)
\(\frac{1}{6^2}>\frac{1}{6.7}\)
\(..............\)
\(\frac{1}{100^2}>\frac{1}{100.101}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}\)
\(\Rightarrow A>\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)
\(\Rightarrow A>\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{96}{505}>\frac{96}{576}=\frac{1}{6}\left(1\right)\)
Lại có :
\(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.5}\)
\(\frac{1}{6^2}< \frac{1}{5.6}\)
\(...............\)
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}-\frac{1}{100}< \frac{1}{4}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => Điều phải chứng minh
\(1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}-...-\frac{1}{2009^2}\)
\(=1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2009^2}\right)\)
\(>1-\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2008.2009}\right)\)
\(=1-\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2008}-\frac{1}{2009}\right)\)
\(=1-\left(1-\frac{1}{2009}\right)\)
\(=\frac{1}{2009}\)