Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: \(\Leftrightarrow a\sqrt{a}+b\sqrt{b}>=\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}\right)>=0\)
=>\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)(luôn đúng)
a)\(x -1 >5 ⇔ x > 1 ⇒ x^4 > x^3 > x^2 > x > 1 \)
\(⇒ 5x^4 > x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 > 5 \)
\(⇒ 5x^4 (x-1) > (x-1)( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 -1 > 5 (x-1) \)
b)\(x^5 + y^5 – x^4y – xy^4 = (x + y)(x^4 – x^3y + x^2y^2 – xy^3 + y^4) – xy(x^3 + y^3) \)
\(= (x + y) [( x^4 – x^3y+ x^2y^2 – xy^3 + y^4) – xy(x^2 – xy + y^2)] \)
\(= (x + y) [(x^4+2x^2y^2+y^4) - 2xy(x^2+y^2)] \)
\(= (x + y) (x - y)^2(x^2 + y^2) ≥ 0 \)
c)\(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} )^2\)
\(= 4(a + b + c) + 3 + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4b + 1} + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4c + 1} + 2\sqrt {4b + 1} \sqrt {4c + 1} \)
\( \le 4(a + b + c) + 3 + (4a + 1) + (4b + 1) + (4a + 1) + (4c + 1) + (4b + 1) + (4c + 1) \)
\(\le 12(a + b + c) + 9 \le 21 \le 25\)
\(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}=\dfrac{\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\right)\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\right)}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\)
Mà \(1.\sqrt{a+1}+1.\sqrt{a-1}< \sqrt{\left(1+1\right)\left(a+1+a-1\right)}=2\sqrt{a}\) (dấu "=" của BĐT Bunhia ko xảy ra)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}>\dfrac{2}{2\sqrt{a}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
Hay \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\) (đpcm)
a) Gọi D là điều kiện xác định của biểu thức vế trái D = [- 8; +∞]. Vế trái dương với mọi x ∈ D trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi x ∈ D. Vậy bất phương trình vô nghiệm.
b) Vế trái có ≥ 1 ∀x ∈ R,
≥ 1 ∀x ∈ R
=> +
≥ 2 ∀x ∈ R.
Mệnh đề sai ∀x ∈ R. Bất phương trình vô nghiệm.
c) ĐKXĐ: D = [- 1; 1]. Vế trái âm với mọi x ∈ D trong khi vế phải dương.
a) Ta có: \(x^2+\dfrac{1}{x^2+1}=x^2+1+\dfrac{1}{x^2+1}-1\)\(\ge2\sqrt{\left(x^2+1\right).\dfrac{1}{x^2+1}}-1=2-1=1\).
Vì vậy: \(x^2+\dfrac{1}{x^2+1}\ge1\) nên BPT vô nghiệm.
b) Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\sqrt{x^2-x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}\ge\)\(2\sqrt{\left(x^2-x+1\right).\dfrac{1}{x^2-x+1}}=2\).
Vì vậy BPT vô nghiệm.
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:
\(A=\dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{y^2}{y-1}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)
Đặt \(x+y=a\left(a>0\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{a^2}{a-2}\)
\(=\dfrac{8\left(a-2\right)+\left(a^2-8a+16\right)}{a-2}\)
\(=8+\dfrac{\left(a-4\right)^2}{a-2}\ge8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:
\(A=\dfrac{x}{\sqrt{y}-1}+\dfrac{y}{\sqrt{z}-1}+\dfrac{z}{\sqrt{x}-1}\)
\(\ge\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-3}\)
Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=a\left(a>0\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{a^2}{a-3}\)
\(=\dfrac{12\left(a-3\right)+\left(a^2-12a+36\right)}{a-3}\)
\(=12+\dfrac{\left(a-6\right)^2}{a-3}\ge12\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 2
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\) <=> \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2< \left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\right)^2\)
<=> \(\dfrac{1}{a}< \left(a+1\right)+\left(a-1\right)-2\sqrt{a^2-1}\)
<=> \(2\sqrt{a^2-1}< 2a-\dfrac{1}{a}\)
<=> \(4\left(a^2-1\right)< 2\left(2a-\dfrac{1}{a}\right)^2\) <=> \(\dfrac{1}{a^2}>0\)
Vậy \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\) với mọi a ≥ 0=> đpcm.