LD
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
8 tháng 3 2020
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c>0\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c\le a+c\le a+b\\\frac{a^a}{b+c}\ge\frac{b^a}{c+a}\ge\frac{c^a}{a+b}\end{cases}}\)
Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn ngược chiều ta có:
\(VT\left(1\right)=\frac{1}{2\left(a+b+c\right)}\left(\frac{a^a}{b+c}+\frac{b^a}{c+a}+\frac{c^a}{a+b}\right)\left[\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right]\ge\)
\(\frac{1}{2\left(a+b+c\right)}\cdot3\left[\frac{a^a}{b+c}\left(b+c\right)+\frac{b^a}{c+a}\left(c+a\right)+\frac{c^a}{a+b}\left(a+b\right)\right]=\frac{3\left(a^a+b^a+c^a\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{3}{2}\cdot\frac{a^a+b^a+c^a}{a+b+c}\)
=> đpcm
TL
1
WB
6 tháng 4 2017
áp dụng a/b>=(a+m)/(b+m) khi a/b>1; a,b cùng dấu
=>(a+b)/c >=2(a+b)/(a+b+c)
tương tự biến đổi 2 cái còn lại rồi cộng từng vế với nhau
5 tháng 5 2019
\(C=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge\frac{3}{2}+1+1+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\left(^∗\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy :
\(\hept{\begin{cases}\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\ge3\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\\\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}\end{cases}}\)
Nhân vế của các bđt ta được :
\(VT\left(^∗\right)\ge3\sqrt[3]{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
5 tháng 5 2019
đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
\(\Rightarrow\)a + b + c = \(\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Rightarrow a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
\(\Rightarrow C=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(C=\frac{1}{2}.\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\ge\frac{1}{2}\left(6-3\right)=\frac{3}{2}\)
DL
2 tháng 10 2019
Áp dụng bất đẳng thức \(4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\) với x, y > 0, ta được:
\(4a^3+4b^3\ge\left(a+b\right)^3\); \(4b^3+4c^3\ge\left(b+c\right)^3\) ; \(4c^3+4a^3\ge\left(c+a\right)^3\).
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(4a^3+4b^3+4a^3+4b^3+4c^3+4c^3\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)
\(\Rightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)
=> đpcm.
BT
0
25 tháng 7 2018
Ta có: BĐT\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2a-\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{2b-\left(b+c\right)}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{2c-\left(c+a\right)}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b-a+a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)+\dfrac{a-c}{2}\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2}\left(\dfrac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (đúng)
Vậy BĐT luôn đúng với \(a\ge b\ge c>0\)
NM
Cho a,b,c> 0 chứng minh bất đẳng thức
(c+\(\frac{a}{bc}\))(a+\(\frac{b}{ac}\))(b+\(\frac{c}{ab}\))>=8
1
3 tháng 4 2017
do a,b,c > áp dụng BĐT Cosi ta có
c+a/bc>=2<c.a/bc>=2<a/b>(bạn hiểu <> là căn bậc 2 nhan )
a+b/ac>=2<b/c>
b+c/ab>=2<c/a>
suy ra (c+a/bc)(a+b/ac)(b+c/ab)>=2<a/b>.2<b/c>.2<c/a>=8<abc/abc>=8(đpcm)