Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
b/ \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
c/ \(\Leftrightarrow a^2+2a< a^2+2a+1\)
\(\Leftrightarrow0< 1\) (hiển nhiên đúng)
d/ \(\Leftrightarrow m^2-2m+1+n^2-2n+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=n=1\)
e/ \(\Leftrightarrow1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Thân heo vừa béo lại vừa ù
Bảy nổi ba chìm với nước lu
Chết đuối quẫy chân không ai cứu
Đứa nào mà cứu, đứa ấy ngu
a, a2+b2+c2 >= ab+bc+ca
<=>a2+b2+c2-ab-bc-ca >= 0
<=>2(a2+b2+c2-ab-bc-ca) >= 0
<=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca >= 0
<=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2) >= 0
<=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 >= 0 (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra chỉ khi và khi \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
Vậy...
b, a2+b2+1 >= ab+a+b
<=>a2+b2+1-ab-a-b >= 0
<=>2(a2+b2+1-ab-a-b) >= 0
<=>2a2+2b2+2-2ab-2a-2b >= 0
<=>(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1) >= 0
<=>(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2 >= 0 (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra chỉ khi và khi \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-1=0\\b-1=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=1}\)
Vậy...
c, a2+b2+c2+3 >= 2(a+b+c)
<=>a2+b2+c2+3-2a-2b-2c >= 0
<=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1) >= 0
<=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2 >= 0 (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra chỉ khi và khi \(\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)
Vậy...
d, a2+b2+c2 >= 2(ab+bc-ca)
<=>a2+b2+c2-2ab-2bc+2ca >= 0
<=>(a-b-c)2 >= 0 (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Vậy...
e,ta có: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{4}\ge0\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng) (1)
Lại có: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-\frac{4ab}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}\ge0\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng) (2)
Từ (1) và (2) => \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
Câu 1: Dùng biến đổi tương đương:
a/ \(3\left(m+1\right)+m< 4\left(2+m\right)\)
\(\Leftrightarrow3m+3+m< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow4m+3< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow3< 8\) (đúng), vậy BĐT ban đầu là đúng
b/ \(\left(m-2\right)^2>m\left(m-4\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>m^2-4m\)
\(\Leftrightarrow4>0\) (đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2:
a/ \(b\left(b+a\right)\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2\ge0\) (luôn đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
b/ \(a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 3:
a/ \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\)
\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(a^2-a\le50a^2-15a+1\)
\(\Leftrightarrow49a^2-14a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(7a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 4:
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
a) a2+b2-2ab=(a-b)2>=0
b) \(\frac{a^2+b^2}{2}\)\(\ge\)ab <=> \(\frac{a^2+b^2}{2}\)-ab\(\ge\)0 <=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\)\(\ge\)0 (ĐPCM)
c) a2+2a < (a+1)2=a2+2a+1 (ĐPCM)
Ta chứng minh 1 bđt phụ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (với a;b;c>0)
Thật vậy,ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Mà: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\left(Cauchy\right)\)nên ta có đpcm
Vậy bđt đc chứng minh
Áp dụng:
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
Dấu bằng khi a=b=c=1/3
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
mình sẽ giải câu 3 cho bạn nhé
đề bài=> \(\frac{1}{x^2+4x+5x+20}+\frac{1}{x^2+5x+6x+30}+\frac{1}{x^2+6x+7x+42}=\frac{1}{18}\)
\(\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
\(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-...-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(18\left(x+7\right)-18\left(x+4\right)=\left(x+7\right)\left(x+4\right)\)
\(\left(x+13\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\orbr{\begin{cases}x=-13\\x=2\end{cases}}\)
nhớ thank mk nhé
câu 5 nà
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
<=>\(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\ge9\)
<=>\(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge9\)
<=>\(3+2+2+2\ge9\)(bất đẳng thức luôn đúng)
=> điều phải chứng minh
Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0
6) Sai đề
Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)
7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)
\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2
a) Để \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)
b) Để \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a< a^2+2a+1\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a-a^2-2a< a^2+2a+1-a^2-2a\)
\(\Leftrightarrow0< 1\left(đpcm\right)\)
c) Cách 1 : Để \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b+a}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\left(đpcm\right)\)
Cách 2 : Vì a > 0, b > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng phân thức ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\left(đpcm\right)\)