Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
lại đây nào , hằng đẳng thức quen thuộc của chúng ta ơi: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)( cái này dễ chứng minh nha bạn, bạn có thể nhân hai vế với 2 hoặc tra mạng là có ngay nha). và chúng ta sẽ áp dụng công thức này vào biểu thức bên dưới
1 \(a^4+b^4+c^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\) \(\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc\)\(=abc\left(a+b+c\right)\)
từ đẳng thức ta có đpcm
2 \(a^8+b^8+c^8=\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2+\left(c^4\right)^2\)\(\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\)\(+a^4b^2c^2\)
\(=a^2b^2c^2\left(b^2+c^2+a^2\right)\)\(\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)
từ đẳng thức ta có đpcm
trong suốt quá trình giải bài toán mình đều sử dụng công thức bên trên nhé. chúc bạn học tốt. kb và tk mk
a2 + b2 + 4 ≥ ab + 2( a + b )
Nhân 2 vào từng vế của bất đẳng thức
<=> 2( a2 + b2 + 4 ) ≥ 2[ ab + 2( a + b ) ]
<=> 2a2 + 2b2 + 8 ≥ 2ab + 4( a + b )
<=> 2a2 + 2b2 + 8 ≥ 2ab + 4a + 4b
<=> 2a2 + 2b2 + 8 - 2ab - 4a - 4b ≥ 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 4a + 4 ) + ( b2 - 4b + 4 ) ≥ 0
<=> ( a - b )2 + ( a - 2 )2 + ( b - 2 )2 ≥ 0 ( đúng )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-2=0\\b-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2\)
(a^2+b^2)/2>=ab
<=>(a^2+b^2)>=2ab
<=> a^2+2ab+b^2>=2ab
<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)
=> điều phải chứng minh.
Xét hiệu: \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xra <=> a = b
Áp dụng ta có:
a) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
dấu "=" xra <=> a = b = c = 1
b) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)
Dấu "=" xra <=> a = b= c = d = 2
a ) Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge2ab\) cho các cặp số thực , ta có :
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
b ) Làm tương tự như a )
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
a) Lại có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)
cmtt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\left(dpcm\right)\)
b) Tiếp tục có \(\left(a-2\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)
CMTT: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+4\ge4b\\c^2+4\ge4c\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\ge4a.4b.4c=256abc\left(dpcm\right)\)
Bài làm
a) Đặt a3 + b3 - ab2 - a2b = 0
<=> ( a + b )( a2 + ab + b2 ) - ab( a + b ) = 0
<=> ( a + b )( a2 + ab + b2 - ab ) = 0
<=> ( a + b )( a2 + b2 ) = 0 (1)
Mà a2 + b2 > 0
=> ( a + b )( a2 + b2 ) > 0 (2)
Từ (1) và (2) => ( a + b )( a2 + b2 ) > 0
Vậy a3 + b3 - ab2 - a2b > 0 ( đpcm )
b) Đặt a5 + b5 - a4b - ab4 = 0
<=> ( a5 - a4b ) + ( b5 - ab4 ) = 0
<=> a4( a - b ) + b4( b - a ) = 0
<=> a4( a - b ) - b4( a - b ) = 0
<=> ( a - b )( a4 - b4 ) = 0 (1)
Mà a4 - b4 = ( a2 + b2 )( a2 - b2 ) < 0
=> ( a - b )( a4 - b4 ) < 0 (2)
Từ (1) và (2) => ( a - b )( a4 - b4 ) < 0
Vậy a5 + b5 - a4b - ab4 < 0 ( đpcm )
1. (a+b)^2 ≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2-4ab≥ 0
<=> a2-2ab+b2≥ 0
<=> (a-b)^2 ≥ 0 ( luôn đúng )
2. a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> (a^2- 2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2) ≥ 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0 ( luôn đúng)
c và d ở đâu vại:>
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a= b
Ta có đpcm