K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 1 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
$a^{2014}+\underbrace{1+1+....+1}_{2013}\geq 2014\sqrt[2014]{a^{2014}}$
$\Leftrightarrow a^{2014}+2013\geq 2014a$
$\Rightarrow a^{2014}+2014> 2014a$
$\Rightarrow a^{2014}> 2014(a-1)$ (đpcm)
TT
0
LN
0
LO
1
KB
30 tháng 4 2019
Ta có : \(a^{2012}+b^{2012}+a^{2014}+b^{2014}=\left(a^{2012}+a^{2014}\right)+\left(b^{2012}+b^{2014}\right)\ge2a^{2013}+2b^{2013}\)
( AD BĐT Cô - si cho a ; b dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a^{2012}=a^{2014};b^{2012}=b^{2014}\) \(\Leftrightarrow a=b=1\left(a,b>0\right)\)
\(\Rightarrow a^{2015}+b^{2015}=1+1=2\)
5 tháng 5 2015
Chia cả tử và mẫu của mỗi phân số tương ứng cho b2015; b2014
=> cần chứng minh: \(\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}>\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}\)
Ta có: \(VT=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}=1-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}\)
\(VP=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}=1-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}\)
Vì a> b > 0 => a/b > 1. Do đó:
\(\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1>\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1\)
=> \(\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}<\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}\Rightarrow1-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}>1-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}\)
=> VT > VP
LT
13 tháng 3 2017
a, chắc bạn chép nhầm đề rồi đó nếu mà là 3ab thì k làm đc đâu
M=a3 + a2 - b3 + b2 + 3ab2 -2ab +3ab2
= (a-b)3 +(a-b)2
= 343+49=392
b, P= -(3x+4x2+1/4x-2014)
= - [ (2x)2 -4x+1 +x +1/4x - 2015]
= -[ (2x-1)2- (2x-1)2/4x +1 -2015]
Max P = 2014 X=1/2
3 tháng 7 2017
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
3 tháng 7 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Online Math - Toán lớp 8 | Học trực tuyến