K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
25 tháng 6 2017
(ab+bc+ca)-3abc(a+b+c)
=a2b2+b2c2+a2c2+2a2bc+2b2ac+2c2ab-3a2bc-3b2ac-3c2ab
=a2b2+b2c2+a2c2-a2bc-b2ac-c2ab
cần chứng minh :
a2b2+b2c2+a2c2-a2bc-b2ac-c2ab >=0
<=>2.(a2b2+b2c2+a2c2-a2bc-b2ac-c2ab) >=0
<=>(ab-ac)2+(ab-bc)2+(bc-ac)2>=0
bất đẳng thức trên luôn đúng
=> dpcm
NL
1
12 tháng 4 2020
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Chuyển vế và CM tương tự
20 tháng 3 2018
a) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
20 tháng 3 2018
Câu a :
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
Câu b :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 8 2019
Lời giải:
a)
Xét hiệu \(\frac{a^3}{b}-(a^2+ab-b^2)=(\frac{a^3}{b}-a^2)-(ab-b^2)\)
\(=\frac{a^3-a^2b}{b}-b(a-b)=\frac{a^2(a-b)}{b}-b(a-b)=(a-b)\left(\frac{a^2}{b}-b\right)\)
\(=(a-b).\frac{a^2-b^2}{b}=\frac{(a-b)^2(a+b)}{b}\geq 0, \forall a,b>0\)
Do đó \(\frac{a^3}{b}\geq a^2+ab-b^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
b)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(\frac{a^3}{b}+ab\geq 2a^2\)
\(\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2\)
\(\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\)
Mà cũng theo BĐT Cauchy:
\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\geq \frac{2ab}{2}+\frac{2bc}{2}+\frac{2ca}{2}=ab+bc+ca\)
\( \Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\geq 2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac)=ab+bc+ac\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
30 tháng 3 2018
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
MK
1
10 tháng 3 2015
Ta có (a-b)2 luôn lớn hơn bằng 0 với mọi a, b.
Có (b-c)2 luôn lớn hơn bằng 0 với mọi b,c.
Có (c-a)2 luôn lớn hơn bằng 0 với mọi c, a.
Suy ra: (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 luôn lớn hơn bằng 0 với mọi a, b, c.
=> a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ac + a2 luôn lớn hơn bằng 0.
=> 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) luôn lớn hơn bằng 0.
=> 2(a2 + b2 + c2) luôn lớn hơn bằng 2(ab + bc + ca).
=> a2 + b2 + c2 luôn lớn hơn bằng ab + bc + ca.
NH
1
20 tháng 9 2018
a+b+c=0
=>(a+b+c)3=0
=>a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+3a2c+3ac2+6abc=0
=>a3+b3+c3+(3a2b+3ab2+3abc)+(3b2c+3bc2+3abc)+(3a2c+3ac2+3abc)-3abc=0
=>a3+b3+c3+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)=3abc
Do a+b+c=0
=>a3+b3+c3=3abc(ĐPCM)
DL
8
9 tháng 6 2019
a, a2+b2\(\ge\)2ab
a2+1\(\ge\)2a
b2+1\(\ge\)2b
=> a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b
9 tháng 6 2019
Ta có a+b+c=0
=> a+b=-c
=> (a+b)3=(-c)3=> a3+b3+c3=-3ab(a+b=-3ab.-c=3abc
Vậy a3+b3+c3=3abc
Giả sử điều cần c/m là đúng , ta có :
\(\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2ab^2c+2a^2bc+2abc^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2\ge2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+a^2c^2\right)+\left(b^2c^2-2ab^2c+a^2b^2\right)+\left(a^2c^2-2abc^2+b^2c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-ac\right)^2+\left(bc-ab\right)^2+\left(ac-bc\right)^2\ge0\)
( điều này luôn đúng )
\(\Rightarrow\) điều giả sử là đúng
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)