K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DT
9 tháng 2 2018
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:
\(\dfrac{1}{4x+3y+z}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
CMTT\(\Rightarrow\) \(M\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\right)=\dfrac{1}{8}\)
Dấu''=" xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=3\)
18 tháng 8 2018
\(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)=8\)
=>\(8xyz=xyz+\sum x+\sum xy+1\)
=>\(\sum x^2+14xyz=\left(\sum x\right)^2+2\sum x+2\)
mặt khác
\(8=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{8}{\sqrt[3]{xyz}}\rightarrow xyz\ge1\)
đặt \(\sum x=a\left(a\ge3\right)\)
khi đó \(P=\dfrac{a^2+2a+2}{4a^2+15xyz}\le\dfrac{a^2+2a+2}{4a^2+15}\)
\(\dfrac{a^2+2a+2}{4a^2+15}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\left(a-3\right)^2}{12a^2+45}\le\dfrac{1}{3}\)
vậy max bằng 1/3 khi x=y=z=1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 5 2018
Lời giải:
Thay $3=xy+yz+xz$ vào biểu thức:
\(P=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+xz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+xy+yz+xz}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+xy+yz+xz}}\)
hay \(P=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+y}+\frac{z}{x+z}\right)\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 9 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A^2=\left ( \frac{1}{\sqrt{x+y+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+1}+\frac{1}{\sqrt{z+x+1}}} \right )^2\leq (1+1+1)\left(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow A^2\leq 3\underbrace{\left(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\right)}_{M}\) \((1)\)
Xét M
Do $xyz=1$ nên tồn tại các số $a,b,c>0$ sao cho \((x,y,z)=\left(\frac{a^2}{bc},\frac{b^2}{ac},\frac{c^2}{ab}\right)\)
Khi đó \(M=\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\)
Với \(a,b>0\) ta luôn có BĐT sau: \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
BĐT này luôn đúng vì tương đương với \((a+b)(a-b)^2\geq 0\)
Do đó, \(a^3+b^3+abc\geq ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{abc}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{abc}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại suy ra
\(M\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\Rightarrow 3M\leq 3\) \((2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow A^2\leq 3\Leftrightarrow A\leq \sqrt{3}\Rightarrow A_{\max}=\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 12 2018
\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x}.\sqrt{y+z}}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{2x+y+z}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}\)
\(\Rightarrow A\ge\sum\dfrac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}=2\sqrt{2}\sum\dfrac{1}{2x+y+z}\ge2\sqrt{2}.\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{18\sqrt{2}}{4.18\sqrt{2}}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\dfrac{1}{4}\) khi \(x=y=z=6\sqrt{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 11 2018
Tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Hồ Minh Phi - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
NT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 7 2021
\(P=\dfrac{x-t}{y+t}+\dfrac{y-x}{z+x}+\dfrac{z-y}{t+y}+\dfrac{t-z}{x+z}\)
\(P=\dfrac{x+z-\left(y+t\right)}{y+t}+\dfrac{y+t-\left(z+x\right)}{z+x}=\dfrac{x+z}{y+t}+\dfrac{y+t}{z+x}-2\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x+z\right)\left(y+t\right)}{\left(y+t\right)\left(x+z\right)}}-2=0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x+z=y+t\)
LV
1
8 tháng 7 2021
\(xy+yz+zx=3xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\)
Có \(\dfrac{1}{x+2y+3z}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+2z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{2z}\right)\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{4z}+\dfrac{1}{2z}\right)=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{3}{4z}\right)\)
Tương tự cx có: \(\dfrac{1}{y+2z+3x}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{2z}+\dfrac{3}{4x}\right)\);\(\dfrac{1}{z+2x+3y}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4z}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{3}{4y}\right)\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow\Sigma\dfrac{1}{x+2y+3z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xayra khi x=y=z=1
Vậy \(P_{max}=\dfrac{1}{2}\)
Biểu thức này có min chứ không có max