LD
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
IL
0
5 tháng 9 2022
\(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)-x^3-y^3-z^3=0\)
=>3(x+y)(y+z)(x+z)=0
=>(x+y)(y+z)(x+z)=0
\(\left(x^{11}+y^{11}\right)\left(y^7+z^7\right)\left(x^{2017}+z^{2017}\right)\)
\(=\left(x+y\right)\cdot A\cdot\left(y+z\right)\cdot B\cdot\left(x+z\right)\cdot C\)
=0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2024
Lời giải:
$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)$
Vì $x+y+z\vdots 6\vdots 2$ nên trong 3 số $x,y,z$ có thể có: 2 số
lẻ 1 số chẵn, 3 số chẵn
Nếu $x,y,z$ là 3 số chẵn thì hiển nhiên $(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 2$
Nếu $x,y,z$ có 2 số lẻ, 1 số chẵn thì tổng 2 số lẻ đó là 1 số chẵn
$\Rightarrow$ trong 3 số $x+y,y+z,x+z$ sẽ có 1 số chẵn.
$\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\vdots 2$
Vậy $(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 2$
$\Rightarrow 3(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 6$
Mà $x+y+z\vdots 6$
$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)\vdots 6$
T
2
21 tháng 10 2018
\(x+y+z=6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)^2=36\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=36\)
\(\Leftrightarrow\)\(2xy+2yz+2zx=24\)
\(\Leftrightarrow\)\(2xy+2yz+2zx=2x^2+2y^2+2z^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z}\)
Mà \(x+y+z=6\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{6}{3}=2\)
Vậy \(x=y=z=2\)
Chúc bạn học tốt ~
T
21 tháng 10 2018
ĐK: x + y + z = 6; \(x^2+y^2+z^2=12\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số (1;1;1) và (x;y;z).Ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
Thay \(x+y+z=6\) và ta có:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge36\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge12\) (tmđk)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{6}{3}=2\) (*)
Từ (*) suy ra x=y=z=2
10 tháng 8 2021
\(x^3+y^3+z^3+x+y+z\ge2\sqrt{x^3.x}+2\sqrt{y^3.y}+2\sqrt{z^3.z}\)(BĐT Cô si)
\(VT\ge2\sqrt{x^4}+2\sqrt{y^4}+2\sqrt{z^4}\)
\(VT\ge2x^2+2y^2+2z^2=2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=3\\x^3=x;y^3=y;z^3=z\end{cases}< =>x=y=z=1}\)
\(x^3+y^3+z^3+x+y+z\ge6< =>ĐPCM\)
10 tháng 8 2021
còn cách khác nè :p
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(x^3+y^3+z^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}+\frac{z^4}{z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3+x+y+z\ge\frac{9}{x+y+z}+\left(x+y+z\right)\ge2\sqrt{\frac{9}{x+y+z}\cdot\left(x+y+z\right)}=6\)( AM-GM )
=> đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
DT
3
5 tháng 6 2019
x3 + y3 = 2 ( z3 + t3 )
\(\Rightarrow\)x3 + y3 + z3 + t3 = 3 ( z3 + t3 ) \(⋮\)3
Áp dụng bài toán : n \(\in\)Z thì n3 - n \(⋮\)3
Ta có : ( x3 - x ) + ( y3 - y ) + ( z3 - z ) + ( t3 - t ) \(⋮\)3
hay ( x3 + y3 + z3 + t3 ) - ( x + y + z + t ) \(⋮\)3
Mà x3 + y3 + z3 + t3 \(⋮\)3 nên x + y + z + t \(⋮\)3
S
2
27 tháng 2 2018
x^3+y^3 = 2.(z^3+t^3)
<=> x^3+y^3+z^3+t^3 = 3.(z^2+t^3) chia hết cho 3
Xét : x^3-x = x.(x^2-1) = (x-1).x.(x+1) chia hết cho 3 ( vì là tích 3 số nguyên liên tiếp )
Tương tự : y^3-y , z^3-z và t^3-t đều chia hết cho 3
=> (x^3+y^3+z^3+t^3)-(x+y+z+t) chia hết cho 3
Mà x^3+y^3+z^3+t^3 chia hết cho 3
=> x+y+z+t chia hết cho 3
Tk mk nha
Ta có Xét hiệu\(\left(x^3+y^3+z^3\right)-\left(x+y+z\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)+\left(y-1\right)y\left(y+1\right)+\left(z-1\right)z\left(z+1\right)\)
Vì x-1,x,x+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3
Mà (2,3)=1
\(\Rightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮6\)
Lập luận tương tự,ta được:\(\hept{\begin{cases}\left(y-1\right)y\left(y+1\right)⋮6\\\left(z-1\right)z\left(z+1\right)⋮6\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)+\left(y-1\right)y\left(y+1\right)+\left(z-1\right)z\left(z+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow\left(x^3+y^3+z^3\right)-\left(x+y+z\right)⋮6\)
Mà \(x+y+z⋮6\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3⋮6\left(ĐPCM\right)\)
\(x^3+y^3+z^3\)
=> \(\left(x+y+z\right)\). \(\left(x+y+z\right)\).\(\left(x+y+z\right)\)
Mà x , y , z chia hết cho 6
=> \(x^3+y^3+z^3\)chia hết cho 6