HP
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
14 tháng 9 2018
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=0\)
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
14 tháng 9 2018
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
=> 1/xy + 1/yz + 1/xz = 0
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
M
0
8 tháng 5 2021
* Có BĐT : \(\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với $x,y>0$ ( Chứng minh bằng xét hiệu )
Ta có BĐT : \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\le\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2}{x+y}\)
Chứng minh tương tự khi đó :
\(P\le\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x}\)
\(\Rightarrow2P\le\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=2.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=4032\)
\(\Rightarrow P\le2016\)
DG
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 2 2020
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
8 tháng 5 2017
Vì x;y;z là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức cô si dạng engel ta có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{9}{x+y+z}\) (1)
Và \(x+y+z\le6\) (2)
Từ (1);(2)\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
bạn tự cm x+y+z=0 đi rồi làm tiếp
dễ dàng CM: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow3xyz\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y+2}{9}+\frac{x}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y+2}.\frac{y+2}{9}.\frac{x}{3}}=x\)
CM tương tự với các phân số còn lại rồi cộng vế theo vế ta được:
\(P\ge x+y+z-\frac{x+2}{9}-\frac{y+2}{9}-\frac{z+2}{9}-\frac{x}{3}-\frac{y}{3}-\frac{z}{3}\)
\(=\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\)
Phải CM: \(\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\ge1\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Mặt khác lại có: \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{9}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge\frac{9}{3}=3\)
Vậy \(x+y+z\ge3\)
Vậy BĐT ban đầu đã được CM
hay ...>=1