Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(3\left(x+y+z\right)\le\frac{\left(x+y+z\right)^2+9}{2}\)
Ta tiếp tục qui tụ bài toán về BĐT khác:
\(\Rightarrow2xyz+2\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\ge\left(x+y+z\right)^2+9\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Sử dụng tiếp \(xyz\ge xz+yz-z\)ta cần phải chứng minh \(x^2+y^2+z^2+2\left(xz+yz-z\right)+1\ge2xy+2yz+2zx\)
Hay \(\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có ĐPCM
Hoặc ta có thể áp dụng BĐT AM-GM bộ 3 số ta có:
\(2xyz+1\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=\frac{3xyz}{\sqrt[3]{3xyz}}\ge\frac{9xyz}{x+y+z}\)
Tiếp tục ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+\frac{9}{x+y+z}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Đẳng thức Schur chỉ xảy ra khi \(x=y=z=1\)
\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\); \(z^2+1\ge2z\)
\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
Cộng vế với vế các BĐT trên:
\(3x^2+3y^2+3z^3+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{12-3}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
2. Phân tích vế trái ta được:
\(2.\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]\)
Phân tích vế phải ta được:
\(6.\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]\)
Vì \(VT=VP\) nên \(VP-VT=0.\)
\(\Rightarrow4.\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow2.\left\{2.\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]\right\}=0\)
\(\Rightarrow2.\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=y=z\) ( đpcm )
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Ai lm giúp mk vs câu nào cũng được. Ai làm xong sớm nhất sẽ được tick
\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\) (áp dụng svacxo)
Áp dụng bđt phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
=>\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{1}{3}}}\)
Cách 2:
\(\frac{x^3}{y}+xy\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y}.xy}=2x^2\)
Tương tự hai bđt còn lại , cộng theo vế:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2=1\)(đpcm)
Cách 3:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{x^3}{y}+y^2\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y}.\frac{x^3}{y}.y^2}=3x^2\)
Hay \(\frac{2x^3}{y}\ge3x^2-y^2\)
Tương tự 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế rồi chia cho 2 thu được đpcm
Cách 4:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{x^3}{y}+xy+xy\ge4\sqrt[4]{x^8}=4x^2\)
Hay \(\frac{2x^3}{y}\ge4x^2-2xy\). Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế rồi làm nốt:v
P/s: Lời giải trên dùng kỹ thuật ghép cặp, một kĩ thuật rất gây ức chế cho em vì nhiều khi nghĩ không ra cần ghép với số nào:v
\(0\le x;y;z\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xyz\ge0\\\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow xyz+\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xyz+8-4x-4y-4z+2xy+2xz+2yz-xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-4\left(x+y+z\right)+2xy+2xz+2yz\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-12+\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-12+3^2\ge x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị