Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(21x^2+21y^2+z^2\)
\(=18\left(x^2+y^2\right)+z^2+3\left(x^2+y^2\right)\)
\(\ge9\left(x+y\right)^2+z^2+3.2xy\)
\(\ge2.3\left(x+y\right).z+6xy\)
\(=6\left(xy+yz+zx\right)=6.13=78\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y ; 3(x+y) = z; xy + yz + zx= 13 <=> x = y = 1; z= 6
2) \(x+y+z=3xyz\)
<=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3\)
Đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)=> ab + bc + ca = 3
Ta cần chứng minh: \(3a^2+b^2+3c^2\ge6\)
Ta có: \(3a^2+b^2+3c^2=\left(a^2+c^2\right)+2\left(a^2+c^2\right)+b^2\)
\(\ge2ac+\left(a+c\right)^2+b^2\ge2ac+2\left(a+c\right).b=2\left(ac+ab+bc\right)=6\)
Vậy: \(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = \(\sqrt{\frac{3}{5}}\); \(b=2\sqrt{\frac{3}{5}}\)
khi đó: \(x=z=\sqrt{\frac{5}{3}};y=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
Ta có:
\(xy+yz+zx=\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2}{2}=\frac{7^2-23}{2}=13\)
Ta lại có:
\(xy+z-6=xy+z+1-x-y-z=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}+\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)
\(=\frac{x+y+z-3}{xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1}=-1\)
\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\) (áp dụng svacxo)
Áp dụng bđt phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
=>\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{1}{3}}}\)
Cách 2:
\(\frac{x^3}{y}+xy\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y}.xy}=2x^2\)
Tương tự hai bđt còn lại , cộng theo vế:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2=1\)(đpcm)
Cách 3:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{x^3}{y}+y^2\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y}.\frac{x^3}{y}.y^2}=3x^2\)
Hay \(\frac{2x^3}{y}\ge3x^2-y^2\)
Tương tự 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế rồi chia cho 2 thu được đpcm
Cách 4:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{x^3}{y}+xy+xy\ge4\sqrt[4]{x^8}=4x^2\)
Hay \(\frac{2x^3}{y}\ge4x^2-2xy\). Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế rồi làm nốt:v
P/s: Lời giải trên dùng kỹ thuật ghép cặp, một kĩ thuật rất gây ức chế cho em vì nhiều khi nghĩ không ra cần ghép với số nào:v
\(x+y+z=7\Rightarrow z=7-x-y\Rightarrow xy+z-6=xy+7-x-y-6=xy-x-y+1\)
\(=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)
Tương tự: \(yz+x-6=\left(y-1\right)\left(z-1\right);zx+y-6=\left(z-1\right)\left(x-1\right)\)
Viết lại: \(H=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}+\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)
\(=\frac{x-1+y-1+z-1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=\frac{x+y+z-3}{xyz-\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z-1}\)
\(=\frac{7-3}{3-13+7-1}=-1\)(Từ gt tính được \(xy+yz+zx=13\))
Ta có :
\(xy+yz+zx\)= \(\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2}{2}\)= \(\frac{7^2-23}{2}\)= \(13\)
Ta lại có :
\(xy+z-6=xy+z+1-x-y-z\)= \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)
\(\Rightarrow A=\)\(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)\(+\)\(\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\)\(+\)\(\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)
\(=\)\(\frac{x+y+z-3}{xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1}\)
\(=-1\)
Bài 1: Chỉ cần chú ý đẳng thức \(a^5+b^5=\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)-a^2b^2\left(a+b\right)\) là ok!
Làm như sau: Từ \(x^2+\frac{1}{x^2}=14\Rightarrow x^2+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=16\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=16\). Do \(x>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}=4\)
: \(x^5+\frac{1}{x^5}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
\(=14\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
\(=14\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)-4\)
\(=14.4.\left(14-1\right)-4=724\) là một số nguyên (đpcm)
P/s: Lâu ko làm nên cũng ko chắc đâu nhé!
Đặt vế trái là P
\(P=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz}\Rightarrow P^2=\frac{x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^2y^2z^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2y^2z^2}\)
\(P^2\ge\frac{x^2y^2z^2\left(x^2+y^2+z^2\right)+6x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=\frac{9x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=9\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1=z\)
x+y+z=3 ms lm đc