Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2) \(\sum\dfrac{x}{x^2-yz+2013}=\sum\dfrac{x^2}{x^3-xyz+2013x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013\left(x+y+z\right)}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\dfrac{1}{x+y+z}\left(đpcm\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{x+1}{1+y^2}=x+1-\dfrac{y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}\ge x+1-\dfrac{y\left(x+1\right)}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{y+1}{1+z^2}\ge y+1-\dfrac{z\left(y+1\right)}{2};\dfrac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\dfrac{x\left(z+1\right)}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(Q\ge\left(x+y+z+3\right)-\dfrac{x\left(z+1\right)+y\left(x+1\right)+z\left(y+1\right)}{2}\)
\(=6-\dfrac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}\)
\(\ge6-\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+3}{2}=6-3=3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
\(\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge x+1-\frac{xy+y}{2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{y+1}{z^2+1}\ge y+1-\frac{yz+z}{2}\)
\(\frac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\frac{zx+x}{2}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(Q\ge3+\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z+xy+yz+zx}{2}\)
\(=3+\frac{x+y+z-xy-yz-zx}{2}\)
Có BĐT phụ sau:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) ( tự cm )
\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
Ta có \(\dfrac{x}{1+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\dfrac{xy}{2}\)
Tương tự ta có \(\Sigma\left(\dfrac{x}{1+y^2}\right)\ge\Sigma\left(x-\dfrac{xy}{2}\right)=3-\left(\dfrac{xy+yz+xz}{2}\right)\)
Theo hệ quả của bđt Cauchy ta có \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow3\ge xy+yz+xz\Rightarrow3-\left(\dfrac{xy+yz+xz}{2}\right)\ge3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+z^2}+\dfrac{z}{1+x^2}\ge\dfrac{3}{2}\) ( 1 )
Ta lại có \(\dfrac{1}{1+y^2}=1-\dfrac{y^2}{1+y^2}\ge1-\dfrac{y}{2}\)
Tương tự ta có \(\Sigma\left(\dfrac{1}{1+y^2}\right)\ge\Sigma\left(1-\dfrac{y}{2}\right)=3-\left(\dfrac{x+y+z}{2}\right)=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}+\dfrac{1}{1+x^2}\ge\dfrac{3}{2}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow Q\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3\)
Vậy \(Q_{min}=3\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Trần Hoàng Nghĩa,Phạm Nguyễn Tất Đạt, ngonhuminh,......giúp e vs!!!!!!E cảm ơn trước