K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
U
1
HT
0
F
2
5 tháng 11 2019
nghiện garena ff à cho xin kb nick được ko ạ có thể ghi số id
5 tháng 11 2019
Với x, y, z >0, Có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
=> Đặt: x + y+z =t => \(t\ge3\)
\(A=\frac{x^2}{1+x}+\frac{y^2}{1+y}+\frac{z^2}{1+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+x+y+z}\)
\(=\frac{t^2}{t+3}=t-3+\frac{9}{t+3}\)
\(=\left(\frac{t+3}{4}+\frac{9}{t+3}\right)+\frac{3\left(t+3\right)}{4}-6\ge2\sqrt{\frac{t+3}{4}.\frac{9}{t+3}}+3.\frac{\left(3+3\right)}{4}-6\)
\(=2.\frac{3}{2}+\frac{9}{2}-6=\frac{3}{2}\)
"=" xảy ra <=> x = y = z =1
HP
Cho x,y,z>0; \(x^2+y^2+z^3=\frac{5}{3}\)
CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\le\frac{1}{xyz}\)
3
PN
28 tháng 3 2016
Dễ dàng chứng minh được với mọi \(x,y>0\) thì ta luôn có:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) \(\left(\text{*}\right)\)
Thật vậy, xét hiệu \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=x^3-x^2y+-xy^2+y^3=x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\) với mọi \(x,y\) và \(x+y>0\))
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x-y=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y\)
Vậy, bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) luôn đúng với mọi \(x,y>0\)
Do đó, từ \(\left(\text{*}\right)\) ta suy ra:
\(x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y\right)+xyz\) (do \(x,y,z>0\))
\(\Leftrightarrow\) \(x^3+y^3+xyz\ge xy\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y+z\right)\) (do \(xyz=1\))
Khi đó, vì hai vế của bđt trên cùng dấu nên ta lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức, tức là:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}\) (do \(xyz=1\))
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị \(x\) \(\rightarrow\) \(y\) \(\rightarrow\) \(z\), ta cũng chứng minh được:
\(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{x}{x+y+z}\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{y}{x+y+z}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=1\)
HM
1
9 tháng 4 2015
Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Vơi x.y >= 0 ta có \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) (*)
Thật vậy: (*) <=> \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y.\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right).x\left(1+y^2\right)-\left(y-x\right).y\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right).\left(x\left(1+y^2\right)-y\left(1+x^2\right)\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)\left(xy\left(y-x\right)-\left(y-x\right)\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
Luôn đúng vì: x; y > = 1 nên tích x.y > = 1 ....
Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{1+xz}\)
\(\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+yz}\)
=> \(2.\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\right)\ge2.\left(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{xz}\right)\ge2.\left(\frac{1}{1+xyz}+\frac{1}{1+xyz}+\frac{1}{xyz}\right)\)
Vì xy x; y ; z > = 1 nên x.y .z > = x.y ; y.z; z.x
=> \(\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\right)\ge\frac{3}{1+xyz}\)
MA
1
KB
6 tháng 4 2019
Với x ; y > 0 , cần c/m : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có : \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
( điều này luôn đúng với mọi x ; y > 0 )
=> BĐT được c/m
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{xz\left(x+z\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z;x,y,z>0\)
H
1
17 tháng 9 2017
Sửa đề : CMR : \(xyz\le\frac{1}{8}\)
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge2\Rightarrow\frac{1}{z+1}\ge\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\left(1\right)\)(bđt AM - GM)
Tương tự ta cũng có : \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(y+1\right)}}\left(2\right)\\\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\left(3\right)\end{cases}}\)
Nhân vế với vế của (1) ; (2) ; (3) laih ta được :
\(\frac{1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{z+1}\ge8\sqrt{\frac{\left(xyz\right)^2}{\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)(đpcm)
Ta có
x^2/(1+y) + y^2/(1+z) + z^2/(1+x) >= 3 (căn bâc 3 của(x^2.y^2.z^2)/((1+x)(y+1)(z+1)))
= 3 (căn bâc 3 của(1/(1+x)(y+1)(z+1))
có xyz=1 nên
x<=1<=>x+1<=2<=>1/(X+1)>=1/2 tương tự
1/(y+1)>=1/2
1/(z+1)>=1/2
nên 3 (căn bâc 3 của(1/(1+x)(y+1)(z+1))>=3(căn bâc 3 của(1/((1/2)^3)=3/2 => dpcm dấu= xay ra khi x=y=z=1
Ví dụ nha bạn