Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\sum\frac{x}{3-yz}\le\sum\frac{2x}{6-\left(y^2+z^2\right)}=\sum\frac{2x}{x^2+x^2+y^2+z^2}\le\sum\frac{x^2+1}{x^2+1+2}\)
\(VT\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{x^2+1}{x^2+1}+\frac{x^2+1}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(3+\frac{x^2+y^2+z^2+3}{2}\right)=\frac{3}{2}\)
Đề bài sai bạn: ví dụ cho \(y=z=0\); \(x=4\) thì \(\frac{4}{6}\le\frac{1}{3}\) (vô lý)
Lời giải:
Ta thấy $\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}$
Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau:
$\frac{x}{1-x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3x^2-1)$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{3}x-1)^2(\sqrt{3}x+2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x>0$
Hoàn toàn tương tự:
$\frac{y}{x^2+z^2}=\frac{y}{1-y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3y^2-1)$
$\frac{z}{x^2+y^2}=\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3z^2-1)$
Cộng theo vế và thu gọn:
$P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.3(x^2+y^2+z^2-1)$
Hay $P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Lời giải:
Ta thấy $\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}$
Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau:
$\frac{x}{1-x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3x^2-1)$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{3}x-1)^2(\sqrt{3}x+2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x>0$
Hoàn toàn tương tự:
$\frac{y}{x^2+z^2}=\frac{y}{1-y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3y^2-1)$
$\frac{z}{x^2+y^2}=\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3z^2-1)$
Cộng theo vế và thu gọn:
$P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.3(x^2+y^2+z^2-1)$
Hay $P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Áp dụng Bđt Cosi
\(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Ta có:
\(\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{2}{\frac{1}{3}}+\frac{8}{\left(x+y+z\right)^2}\ge14\) (Đpcm)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=8+4\sqrt{3}>14\)
Dấu "=" không xảy ra
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{1}{y}}+\frac{\left(\frac{y}{z}\right)^2}{\frac{1}{z}}+\frac{\left(\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}}\geq \frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)
Giờ ta cần chỉ ra \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Thật vậy, do $xyz=1$ nên tồn tại các số dương \(a,b,c\) sao cho:
\((x,y,z)=\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)\)
Bài toán tương đương với
\(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)
Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
\((ab)^3+(ab)^3+(bc)^3\geq 3b^3ca^2\)
Thực hiện tương tự và cộng theo vế, suy ra:
\(3[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3]\geq 3(a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2)\)
\(\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1\)
\(VT=\sum\frac{2}{x^2+y^2}=\sum\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}=\sum\left(1+\frac{z^2}{x^2+y^2}\right)\ge\sum\left(1+\frac{z^2}{2xy}\right)=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh . Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{3}{2}}\)