Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này thuộc loại nổi tiếng lắm
\(VT.\left(x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}}\)
Ta lại có:
\(\sqrt{x}\sqrt{x^3+8xyz}+\sqrt{y}\sqrt{y^3+8zx}+\sqrt{z}\sqrt{z^3+8xyz}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3+24xyz\right)}\)
Mà \(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge x^3+y^3+z^3+24xyz\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}\le\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
IMO 2001!Vô số cách giải! Ở đây mình đưa ra $5$ cách khác.
$$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8zx}} +\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}} \geqq 1$$
Theo AM-GM$:$ \(\begin{align*} \text{LHS} &=\sum\limits_{cyc} \frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}} =\sum\limits_{cyc} \frac{x(x+y+z)}{\sqrt{(x^2+8yz)(x+y+z)^2}}\\&\geqq 2\sum\limits_{cyc} \frac{x(x+y+z)}{(x^2+8yz)+(x+y+z)^2} \geqq 1 \end{align*}\)
Bất đẳng thức cuối tương đương với $$\frac{1}{2} \sum\limits_{cyc} \left( 8\,{x}^{3}y+31\,{x}^{2}{y}^{2}+8\,x{y}^{3}+202\,x{y}^{2}z+262
\,xy{z}^{2}+202\,x{z}^{3}+79\,{z}^{4} \right) \left( x-y \right) ^{2}
\geqq 0$$
Xong!
Cách 2: Dùng bổ đề do NguyenHuyen_AG đề xuất$:$
$${\frac {a}{\sqrt {a^{2} + 8bc}}}\geqq {\frac {a(5a + 2b + 2c)}{5\left(a^2 + b^2 + c^2\right) + 4(bc + ca + ab)}}.$$
Việc chứng minh bổ đề này tương đối đơn giản$,$ bạn có thể tự làm.
Cách 3: Chứng minh theo trình tự$:$ $$\sum_{cyc}\frac{x}{\sqrt{x^2+8xy}}\geq\sum_{cyc}\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}}+z^{\frac{4}{3}}}=1$$
Cách 4: Dùng Holder (cách này khá quen thuộc)
Cách 5$:$ Dùng phương pháp phản chứng.
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)