Cho x,y>0 tm (x+1)(y+1)=4xyCm \(\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

VD

Vũ Đình Thái

5 tháng 5 2021

Cho x,y>0 tm (x+1)(y+1)=4xy

Cm \(\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)

1

E

Etermintrude💫

5 tháng 5 2021

undefined

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

NT

Nguyễn Thị Mát

24 tháng 11 2019 - olm

Cho x>0;y>0 thỏa mãn (x+1)(y+1)=4xy.

Chứng minh : \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)

1

KS

Kudo Shinichi

24 tháng 11 2019

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow ab+a+b=3\)

\(\Rightarrow ab+2\sqrt{ab}\le3\Rightarrow\left(\sqrt{ab}+3\right)\left(\sqrt{ab}-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le1\)

\(P=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}=\frac{a}{\sqrt{ab+a+b+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{ab+a+b+b^2}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+1}\right)\)

\(P\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{ab+a+ab+b}{ab+a+b+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{ab+3}{4}\right)\)

\(P\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1+3}{4}\right)=1\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=1\) hay \(x=y=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

VT

Văn Thắng Hồ

23 tháng 11 2019

Cho x>0;y>0 thỏa mãn (x+1)(y+1)=4xy.

Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

23 tháng 11 2019

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow ab+a+b=3\)

\(\Rightarrow ab+2\sqrt{ab}\le3\Rightarrow\left(\sqrt{ab}+3\right)\left(\sqrt{ab}-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le1\)

\(P=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}=\frac{a}{\sqrt{ab+a+b+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{ab+a+b+b^2}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+1}\right)\)

\(P\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{ab+a+ab+b}{ab+a+b+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{ab+3}{4}\right)\)

\(P\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1+3}{4}\right)=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\) hay \(x=y=1\)

PC

Phác Chí Mẫn

6 tháng 9 2019

Cho \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4xy\) .Cm: \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)

0

GG

≧❂◡❂≦ ღThùy ღNinh ღ≧✯◡✯≦✌

4 tháng 12 2017

Tìm \(x;y\in N\)tmãn : \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}\) 2, Rút gọn bt \(P=\dfrac{x}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+2\sqrt{x}\right)}\) b, gpt : \(x^2-2x-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4=0\) 3, cho x>1 ; y>0 , cm \(\dfrac{1}{\left(x+1\right)^3}+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+\dfrac{1}{y^3}\ge3\left(\dfrac{3-2x}{x-1}+\dfrac{x}{y}\right)\) Unruly...

4

UK

Unruly Kid

4 tháng 12 2017

Đặt VT là T

Áp dụng AM-GM cho 3 số dương, ta có:

\(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+1+1+\dfrac{1}{y^3}+1+1\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(T\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}-2\right)=3\left(\dfrac{3-2x}{x-1}+\dfrac{x}{y}\right)\)(đpcm)

UK

Unruly Kid

4 tháng 12 2017

\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+2\sqrt{x}\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(x+2\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+2\sqrt{x}\right)}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{.....}+\dfrac{x+2}{....}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x^3}+2x+2\sqrt{x}-2+x+2}{.....}=\dfrac{\sqrt{x^3}+3x+2\sqrt{x}}{....}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(x+3\sqrt{x}+2\right)}{....}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{....}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

P/S: Chú ý điều kiện khi rút gọn, tự tìm.

D

Dat

20 tháng 5 2018

Bài 1:

a,Cho ba số x,y,z thoả mãn yz>0 . Chứng minh rằng : \(x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)

b,Cho x,y,z thoả mãn x+y+z\(=3\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

0

VT

Vũ Tiền Châu

29 tháng 9 2017

Câu hỏi hay

cho x,y,z>0 và \(x+y+z=\dfrac{3}{2}\)

chứng minh rằng \(\dfrac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}+\dfrac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{4zx+1}+\dfrac{\sqrt{z^2+xz+x^2}}{4xy+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)

1

N

Neet

30 tháng 9 2017

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT=\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}}{4yz+1}\ge\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}}{\left(y+z\right)^2+1}=\sum\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)^2+1}\)

Set \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\z+x=c\end{matrix}\right.\)thì giả thiết trở thành \(a+b+c=3\) và cần chứng minh \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)( đến đây quen thuộc rồi)

Ta có:\(\sum\dfrac{a}{b^2+1}=\sum a-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1}\ge3-\sum\dfrac{ab^2}{2b}\)(AM-GM)

\(VT\ge3-\sum\dfrac{ab}{2}\ge3-\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)( AM-GM)

Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)

VT

Vũ Tiền Châu

30 tháng 9 2017

cảm ơn bạn nhé

HT

hoàng thị huyền trang

12 tháng 1 2019 - olm

cho x,y là các số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1)=4xy. chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)

2

T

tth_new

19 tháng 9 2019

Nhớ có câu tương tự bài này mà sao nót ko hiển thị nhỉ? Thôi kệ nhai lại vậy:v

\(gt\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{1}{y}+1\right)=4\)

Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3\)

Ta có: \(LHS=\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{a}\right)^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{b}\right)^2+1}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(a+b\right)}}\) (thay cái giả thiết vào:v)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)+\frac{1}{2}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{ab+a+b+1}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{4}\right)+\frac{1}{2}\) (1)

Từ giả thiết dễ dàng chứng minh \(ab\le1\). Từ đó thay vào (1) ta có đpcm.

HH

Hoàng hôn ( Cool Team )

25 tháng 9 2019

Nhớ có câu tương tự bài này mà sao nót ko hiển thị nhỉ? Thôi kệ nhai lại vậy:v

gt\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{1}{y}+1\right)=4gt⇔(x1+1)(y1+1)=4

Đặt \frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3x1=a;y1=b⇒(a+1)(b+1)=4⇒ab+a+b=3

Ta có: LHS=\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}LHS=3x2+11+3y2+11

=\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{a}\right)^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{b}\right)^2+1}}=3(a1)2+11+3(b1)2+11

=\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(a+b\right)}}=a2+3a+b2+3b=(a+1)(a+b)a+(b+1)(a+b)b (thay cái giả thiết vào:v)

\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)+\frac{1}{2}≤21(a+1a+b+1b+a+ba+b)=21(a+1a+b+1b)+21

=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{ab+a+b+1}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{4}\right)+\frac{1}{2}=21(ab+a+b+1ab+3)+21=21(4ab+3)+21 (1)

Từ giả thiết dễ dàng chứng minh ab\le1ab≤1. Từ đó thay vào (1) ta có đpcm.

HA

Hải Anh

4 tháng 10 2018

a, Cho a,b > 0. Cm: \(\dfrac{1}{ab}\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\) b, Tìm GTNN của A=\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy\) (với x,y>0 và \(x+y\le1\)

0

MN

Momozono Nanami

29 tháng 9 2018 - olm

cho x,y là những số thực dương thỏa mãn

(x+1)(y+1)=4xy

CMR

\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)

0