Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+x^2+y^2\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\left(x+y\right)^2-2xy\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}+\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2-2\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}+\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)+\frac{3}{4}2xy-2\)
\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}+\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)+\frac{3}{2}-2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
\(A\ge2\sqrt{\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}+\frac{3}{4}2\sqrt{x^2y^2}+\frac{3}{2}-2\)
\(A\ge2+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-2\)
\(A\ge3\)
Ta có:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-2+4-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\right)\ge0\left(1\right)\)
Đến đây có 2 cách giải quyết
Cách 1:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{xy}\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^2y^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2\left[\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]}{x^2y^2}\ge0\left(true!!!\right)\)
Cách 2 là đặt ẩn:)
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge4\cdot\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}=4\)
\(\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)
Khi đó ta có:
\(\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)
Nếu \(t\ge2\Rightarrow t+1>0;t-2\ge0\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)
Nếu \(t\le-2\Rightarrow t+1< 0;t-2< 0\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)>0\)
=> đpcm
Bđt tương đương:
\(\frac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\frac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\frac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\frac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)(luôn đúng do \(x,y\ne0\))
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=a^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=a^2\)
Dễ dàng chứng minh được: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\)nên \(a^2\ge4\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\left(1\right)\)
Ta thấy: bđt tương đương với \(a^2-2+4\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a\ge2\\a\le1\end{cases}}\left(2\right)\)
Từ (1) suy ra (2) . Vậy bài toán được chứng minh
\(T=21\left(x+\frac{1}{y}\right)+3\left(y+\frac{1}{x}\right)\)
\(=3\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{9}\right)+21\left(\frac{1}{y}+\frac{y}{9}\right)+\frac{62x}{9}+\frac{2y}{3}\)
\(\ge6\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{9}}+42\sqrt{\frac{1}{y}\cdot\frac{y}{9}}+\frac{62\cdot3}{9}+\frac{2\cdot3}{9}\)
\(=\frac{112}{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=3;y=3
a/ có \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+\frac{1}{4}+b^2+b+\frac{1}{4}+c^2+c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b/ \(2a^2+2b^2+8-2ab+4\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a+4+b^2+4b+4+a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(a+b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
bài 2 áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
bài 3: giả sử \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)cmtt \(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đăng thức trên ta đc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
bái 4: áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cái, nhân vế theo vế là đc nhé bn
Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)
\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)
Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)
Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)
\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)
Vậy ta có đpcm
Ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)
Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1\\\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)x^4+a\left(a+b\right)y^4=ab\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow b^2x^4+a^2y^4-2abx^2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx^2-ay^2\right)^2=0\)
\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2016}}{a^{1008}}=\frac{y^{2016}}{b^{1008}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1008}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2016}}{a^{1008}}+\frac{y^{2016}}{b^{21008}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1008}}\)
Em vào câu hỏi tương tự tham khảo:
Ta có: \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2+y^4=1\)
Khi đó: \(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{a+b}\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\right)=x^4+2x^2y^2+y^4\)
<=> \(\frac{b}{a}x^4+\frac{a}{b}y^4=2x^2y^2\)
<=> \(\frac{x^4}{a^2}+\frac{y^4}{b^2}-\frac{2x^2y^2}{ab}=0\)
<=> \(\left(\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}\right)^2=0\)
<=> \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)( dãy tỉ số bằng nhau)
Khi đó: \(\frac{x^{2016}}{a^{1008}}+\frac{y^{2016}}{b^{1008}}=2\frac{x^{2016}}{a^{1008}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1008}}\)
\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+x^2+y^2=\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\left(x^2+y^2+1\right)-1\)
\(=\frac{4}{x^2+y^2+1}+\left(x^2+y^2+1\right)-1\)( vì xy=1)
\(\ge2\sqrt{\frac{4}{x^2+y^2+1}.\left(x^2+y^2+1\right)}-1\)(áp dụng bđt cô si )
\(=2\sqrt{4}-1=3\)
---> đpcm
cho mình hỏi là vì sao mà 2xy lại bằng 1 vậy?