Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng tam bậc thức
đa thức cao hơn 2
biểu thức là 1 phân thức
có thể lm bài đc đó
áp dụng tam bậc thức
đa thức cao hơn 2
biểu thức là 1 phân thức
có thể lm bài đc đó
Lời giải:
Thực hiện tách P:
\(P=5x+3y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}\)
\(P=2(x+y)+\left(3x+\frac{12}{x}\right)+\left(y+\frac{16}{y}\right)\)
Theo đề bài: \(x+y\geq 6\Rightarrow 2(x+y)\geq 12\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(3x+\frac{12}{x}\geq 2\sqrt{3x.\frac{12}{x}}=12\)
\(y+\frac{16}{y}\geq 2\sqrt{y.\frac{16}{y}}=8\)
Do đó: \(P\geq 12+12+8=32\)
Vậy GTNN của \(P=32\Leftrightarrow (x,y)=(2,4)\)
a: \(=\dfrac{5\left(x^2+2xy+y^2\right)}{3\left(x^3+y^3\right)}\)
\(=\dfrac{5\left(x+y\right)^2}{3\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}=\dfrac{5\left(x+y\right)}{3\left(x^2-xy+y^2\right)}\)
b: \(=\dfrac{x^2-4xy+4y^2-4}{2x\left(x-2y+2\right)}=\dfrac{\left(x-2y-2\right)\left(x-2y+2\right)}{2x\left(x-2y+2\right)}\)
\(=\dfrac{x-2y-2}{2x}\)
c: \(=\dfrac{2\left(x^2+5x+1\right)}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)
1) a) Đặt biểu thức là A
\(A=2x^2+4y^2-4xy-4x-4y+2017\)
\(A=\left(x-2y\right)^2+x^2-4x-4y+2017\)
\(A=\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)+x^2-6x+2017\)
\(A=\left(x-2y-1\right)^2+\left(x+3\right)^2+2008\)
Vậy: MinA=2008 khi x=-3; y=-2
3) a) \(A=\dfrac{1}{x^2+x+1}\)
\(B=x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow B\ge\dfrac{3}{4}\Rightarrow A\ge\dfrac{4}{3}\)
Vậy MinA là \(\dfrac{4}{3}\) khi x=-0,5
\(M=\frac{x^2+9y^2}{xy}-\frac{8y^2}{xy}\)
\(\ge\frac{2\sqrt{9x^2y^2}}{xy}-\frac{8.y.y}{xy}\)
\(\ge6-\frac{8.\frac{x}{3}.y}{xy}=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 3y.
Vậy..
\(x\ge3y\Leftrightarrow\frac{x}{y}\ge3\)
\(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(\text{Đặt}\frac{x}{y}=a\Rightarrow a\ge3,M=a+\frac{1}{a}\)
Dùng điểm rơi a=3
\(M=\frac{8}{9}a+\frac{1}{9}a+\frac{1}{a}\ge\frac{8}{9}a+\frac{2}{3}\ge\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(\left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)(x^2+y^2+z^2)\geq \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow M.1\geq \frac{49}{16}\Leftrightarrow M\geq \frac{49}{16}\)
Vậy \(M_{\min}=\frac{49}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \((x,y,z)=(\sqrt{\frac{1}{7}}; \sqrt{\frac{2}{7}}; \sqrt{\frac{4}{7}})\)
\(M=6x^2+4y^2+6xy+\left(xy+\dfrac{4x}{y}\right)+\left(3xy+\dfrac{3y}{x}\right)+2022\)
\(M\ge3x^2+y^2+3\left(x+y\right)^2+2\sqrt{\dfrac{4x^2y}{y}}+2\sqrt{\dfrac{9xy^2}{x}}+2022\)
\(M\ge3\left(x^2+1\right)+\left(y^2+4\right)+3\left(x+y\right)^2+4x+6y+2015\)
\(M\ge6x+4y+3\left(x+y\right)^2+4x+6y+2015\)
\(M\ge3\left(x+y\right)^2+10\left(x+y\right)+2015\ge3.3^2+10.3+2015=2072\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)