Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/x +1/y +1/z=1/x+y+z
<=>xy+yz+zx/xyz=1/x+y+z
<=>x^2y +xy^2+ 2xyz +y^2z +zx^2 +xyz +z^2x=0
<=>(x^2y +zx^2) +(xy^2 +2xyz +z^2x) +(y^2z +yz^2)=0
<=>x^2(y+z) +x(y+z)^2 +zy(y+z)=0
<=>(y+z)( x^2 +xy +xz zy)=0
<=>(y+z)[ x(x+y) +z(x+y) ]=0
<=>(y+z)(x+y)(x+z)=0
<=>x= -y : y= -z : z= -x
Vậy phương trình kia trở thành;
-1/y^2009 + 1/y^2009 +1/z^2009=1/ -y^2009 + y^2009 +z^2009
<=> 1/z^2009 = 1/z^2009
<=> z=z (luôn đúng)
\(8,\dfrac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}\)
\(=\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}}{2}\)
Tương tự cho các số còn lại rồi cộng vào sẽ được
\(S\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" khi a=b=c=1
Vậy
\(7,\sqrt{\dfrac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+xz+yz+z^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}}{2}\)
Cmtt rồi cộng vào ta đc đpcm
Dấu "=" khi x = y = z = 1/3
Lời giải:
\(A=\frac{x^2}{1-x}+\frac{y^2}{1-y}+\frac{z^2}{1-z}=-(x+1)+\frac{1}{1-x}-(y+1)+\frac{1}{1-y}-(z+1)+\frac{1}{1-z}\)
\(\Leftrightarrow A=-6+(1-x)+\frac{1}{1-x}+(1-y)+\frac{1}{1-y}+(1-z)+\frac{1}{1-z}\)
Do \(1>x,y,z\) nên áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(\left\{\begin{matrix} (1-x)+\frac{1}{1-x}\geq 2\\ (1-y)+\frac{1}{1-y}\geq 2\\ (1-z)+\frac{1}{1-z}\geq 2\end{matrix}\right.\Rightarrow A\geq -6+2+2+2\)
\(\Leftrightarrow A\geq 0\)
Vậy \(A_{\min}=0\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=0\)
