Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(x^2+y=y^2+x\Leftrightarrow x^2-y^2-\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=x\\y=1-x\end{cases}}\). Vì x,y là hai số khác nhau nên ta loại trường hợp x = y. Vậy ta có y = x-1.
\(P=\frac{x^2+\left(1-x\right)^2+x\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)-1}=\frac{x^2+x^2-2x+1-x^2+x}{-x^2+x-1}\)
\(=\frac{x^2-x+1}{-\left(x^2-x+1\right)}=-1\)
\(P=\sqrt{\frac{1}{36}\left(11a+7b\right)^2+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}+\sqrt{\frac{1}{36}\left(7a+11b\right)+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}\left(3a+5b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}+\sqrt{\frac{1}{16}\left(5a+3b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}\)
\(\ge\frac{1}{6}\left(11a+7b\right)+\frac{1}{6}\left(7a+11b\right)+\frac{1}{4}\left(3a+5b\right)+\frac{1}{4}\left(5a+3b\right)\)
\(=5\left(a+b\right)=5.2016=10080\)
Bài 1
Từ giả thiết, bình phương 2 vế, ta được:
\(x^2y^2+\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2015\)
\(\Leftrightarrow2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2014.\)
\(A^2=x^2\left(y^2+1\right)+y^2\left(x^2+1\right)+2x\sqrt{y^2+1}.y\sqrt{x^2+1}\)
\(=2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}.\sqrt{y^2+1}\)
\(=2014\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{2014}.\)
Bài 2:
Đặt \(\sqrt{2015}=a>0\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left(y+\sqrt{y^2+a}\right)=a\text{ }\left(1\right)\)
Do \(\sqrt{y^2+a}-y>\sqrt{y^2}-y=\left|y\right|-y\ge0\) nên ta nhân cả 2 vế với \(\sqrt{y^2+a}-y\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left[\left(y^2+a\right)-y^2\right]=a.\left(\sqrt{y^2+a}-y\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+a}+x=\sqrt{y^2+a}-y\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{y^2+a}+y=\sqrt{x^2+a}-x\)
Cộng theo vế 2 phương trình trên, ta được \(x+y=-\left(x+y\right)\Leftrightarrow x+y=0\)
Bài 3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}\ge3\sqrt[3]{x\sqrt{x}.y\sqrt{y}.z\sqrt{z}}=3\sqrt{xyz}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
Thay vào tính được \(A=2.2.2=8\text{ }\left(x=y=z\ne0\right).\)
Vì \(\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}\times\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}\)
\(=\sqrt[3]{\left[y^2-\left(y^2+1\right)\right]}=\sqrt[3]{-1}=-1\)
nên ta có thể đặt \(\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}=t\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}=-\dfrac{1}{t}\)
\(\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}=t\)
\(\Leftrightarrow y-\sqrt{y^2+1}=t^3\)
\(\Leftrightarrow t^3+\sqrt{1+y^2}=y\)
\(\Leftrightarrow t^6+2t^3\sqrt{y^2+1}+1+y^2=y^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}=\dfrac{-t^6-1}{2t^3}\)
\(\Leftrightarrow y^2=\dfrac{t^{12}+2t^6+1}{4t^6}-1\)
\(\Leftrightarrow y^2=\dfrac{t^{12}-2t^6+1}{4t^6}\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{t^6-1}{2t^3}\)
- - -
\(x=t-\dfrac{1}{t}=\dfrac{t^2-1}{t}\)
\(\Rightarrow x^3=\dfrac{t^6-3t^4+3t^2-1}{t^3}=2y-\dfrac{3t^2\left(t^2-1\right)}{t^3}=2y-\dfrac{3\left(t^2-1\right)}{t}=2y-3x\)
\(A=x^4+x^3y+3x^2+xy-2y^2+2014\)
\(=x^3\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)\left(x+y\right)+y\left(x+y\right)+2014\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^3+3x-2y\right)+2014\)
\(=\left(x+y\right)\left(2y-3x+3x-2y\right)+2014\)
= 2014
Ta có: \(x=\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}\)
\(\Leftrightarrow x^3=y-\sqrt{y^2-1}+y+\sqrt{y^2+1}+3\left(\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}\right)\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}.\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}\)
\(\Leftrightarrow x^3=2y-3x\)
Thế vô B ta được
\(B=\left(2y-3x\right)x+\left(2y-3x\right)y+3x^2+xy-2y^2+2014\)
\(=2014\)