Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho x,y > 0. Tìm GTNN của:
a) x2 + y2 + \(\dfrac{1}{xy}\) với x + y = 2
b) x + y + \(\dfrac{1}{xy}\)
a ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :
\(x^2+y^2+\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{2^2}{4}}=2+1=3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy ...
b ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :
\(x+y+\dfrac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{xy.\dfrac{1}{xy}}=3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y=y^2x=1\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3=1\Leftrightarrow xy=1\left(x;y>0\right)\)
\(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy ...
mình cũng ko biết đâu nhưng bài này mình thừơng đặt ẩn phụ
ĐẶT \(\sqrt{y}=t\Leftrightarrow y=t^2\) Thay vào biểu thức
\(\Leftrightarrow A=x^2-xt+x+t^2-t+1\)
\(\Leftrightarrow2A=2x^2-2xt+2x+2t^2-2t+2\)
\(\Leftrightarrow2A=\left(x^2-2xt+t^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(t^2-2t+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2A=\left(x-t\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(t-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow A\ge0\)
ĐẤU ''='' XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI \(x=t=1\Leftrightarrow x=y=1\)
Ta có \(x^2+y^2\ge2xy\)=>\(xy\le\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{A}=\frac{1}{-2xy}-\frac{1}{2}\le-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)
=> \(A\ge-\frac{2}{3}\)
\(MinA=-\frac{2}{3}\)khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Trần Phúc Khang: bài này cần gì phải làm phức tạp vậy a
c/m: \(xy\le\frac{1}{2}\)( như bài Trần Phúc Khang)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(A=\frac{-2xy}{1+xy}\ge\frac{-2.\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
KL:.............................
Do x,y∈Z và 3x+2y=1 ⇒xy<0
3x+2y=1⇔y= -x+\(\dfrac{1-x}{2}\)
Đặt \(\dfrac{1-x}{2}\)=t (t ∈ Z)
⇒x = 1 - 2t ; y = 3t - 1
khi đó : H = t\(^2\) -3t + |t| -1
nếu t ≥ 0⇒ H =( t -1 ) - 2 ≥ - 2
Dấu "=" xảy ra ⇔t=1
nếu t < 0 ⇒ H = t\(^2\) -4t - 1 > -1> -2
vậy GTNN của H là -2 khi t=1⇒ \(\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}\)
\(a.x^2-2xy+6y^2-12x+2y+41\)
\(=x^2-2xy+y^2-12x+12y+36+5y^2-10y+5\)
\(=\left(x-y\right)^2-2.6\left(x-y\right)+36+5\left(y-1\right)^2\)
\(=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2\) ≥ \(0\)
\(b.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{2x}{y}-\dfrac{2y}{x}+3\)
\(=\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1+\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1+1\)
\(=\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2+1>0\)
\(A^2=\left(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\right)^2\ge3\left(\frac{x^2yz}{yz}+\frac{y^2xz}{xz}+\frac{z^2xy}{xy}\right)=3.2016\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{3.2016}=12\sqrt{42}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=4\sqrt{14}\)
Lời giải:
Ta có \(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\). Vì \(x,y>0;x\geq 2y\Rightarrow t=\frac{x}{y}\geq 2\)
Ta cần đi tìm min \(M=t+\frac{1}{t}\) với \(t\geq 2\)
Áp dụng BĐT AM-GM
\(M=\frac{3t}{4}+\frac{t}{4}+\frac{1}{t}\geq \frac{3t}{4}+2\sqrt{\frac{1}{4}}\geq \frac{3t}{4}+1\)
Mà \(t\geq 2\Rightarrow M\geq \frac{3}{4}.2+1\Leftrightarrow M\geq \frac{5}{2}\)
Vậy \(M_{\min}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow x=2y\)