TT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
18 tháng 1 2019
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)(1)
Ta có: \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)
Vì \(x^2+y^2\)và x+y là các số nguyên => 2xy là số nguyên
\(x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)-2x^2y^2\)
Vì \(x^4+y^4,x^2+y^2\)là các số nguyên => \(2x^2y^2\)là số nguyên
=> \(\frac{1}{2}\left(2xy\right)^2\)là số nguyên=> \(\left(2xy\right)^2⋮2\)mà 2 là số nguyên tố => 2xy chia hết cho 2=> xy là số nguyên (2)
Từ (1), (2) và x+y là số nguyên
=> x^3+y^3 cũng là số nguyên.
NM
0
10 tháng 8 2021
\(x^3+y^3+z^3+x+y+z\ge2\sqrt{x^3.x}+2\sqrt{y^3.y}+2\sqrt{z^3.z}\)(BĐT Cô si)
\(VT\ge2\sqrt{x^4}+2\sqrt{y^4}+2\sqrt{z^4}\)
\(VT\ge2x^2+2y^2+2z^2=2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=3\\x^3=x;y^3=y;z^3=z\end{cases}< =>x=y=z=1}\)
\(x^3+y^3+z^3+x+y+z\ge6< =>ĐPCM\)
10 tháng 8 2021
còn cách khác nè :p
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(x^3+y^3+z^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}+\frac{z^4}{z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3+x+y+z\ge\frac{9}{x+y+z}+\left(x+y+z\right)\ge2\sqrt{\frac{9}{x+y+z}\cdot\left(x+y+z\right)}=6\)( AM-GM )
=> đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
TA
27 tháng 7 2016
1) Từ \(x+y+z=6\) và \(x^2+y^2+z^2=12\)ta dễ dàng suy ra \(xy+yz+zx=12\)
Như vậy \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\) \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Mà \(x+y+z=6\)nên \(x=y=z=2\)thay vào Q ta tính được Q = 3.
JA
30 tháng 7 2016
Bài dưới mình có làm ra được 2 cách, bạn hiểu cách nào thì làm
Cách 1: Dùng phương pháp quy nạp (cách này mình cũng không biết được sử dụng trong trg hợp này ko)
-Với n=1 thì \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1=2^2\left(2^3-1\right)-1=4.8-1=27\)chia hết cho 9
Vậy mệnh đề đúng với n=1
-Giả sử tồn tại số k sao cho \(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)-1\) chia hết cho 9 (giả thiết quy nạp). Do đó, \(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 1
Ta phải cm mệnh đề cũng đúng với k+1:
Thật vậy, \(2^{2\left(k+1\right)}\left(2^{2\left(k+1\right)+1}-1\right)-1=2^{2k+2}\left(2^{2k+3}-1\right)-1=2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-\frac{1}{4}\right)-1\)
<=> \(2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-1\right)+\frac{3}{4}\left(2^{2k+4}\right)-1=2^{2k}.16.\left(2^{2k+1}-1\right)+3.2^{2k+2}-1\)
Ta thấy:
\(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 1. Do đó, \(2^{2k}.16.\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 7.
Các số có cơ số =2, số mũ lẻ thì tích của số đó với 3 khi chia 9 dư 6. Còn các số có cơ số =2, số mũ chẵn thì tích của số đó với 3 khi 9 dư 3. Vậy tích \(3.2^{2k+2}\) chia 9 dư 3
-1 chia 9 dư -1
Vậy \(2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-1\right)+3.2^{2k+2}-1\)chia 9 dư 7+3-1=9 chia hết cho 9
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi n thuộc Z
HP
29 tháng 4 2017
2,a A+4=4+(5x^2+6x+1)/x^2=(9x^2+6x+1)/x^2=(3x+1)^2/x^2 >/ 0 với mọi x
=>A >/ -4 =>minA=-4 , đẳng thức xảy ra khi x=-1/3
2,b dễ c/m bđt : x^3+y^3 >/ (x+y)^3/4,khai triển hết ra còn 3(x-y)^2 >/ 0 ,đẳng thức xảy ra khi x=y
x^6+y^6=(x^2)^3+(y^2)^3 >/ (x^2+y^2)^3/4=1/4 ,đẳng thức xảy ra khi x=y=1/căn(2)
HP
29 tháng 4 2017
2,c (a^3-3ab^2)^2=a^6-6a^4b^2+9a^2b^4=5^2=25
(b^3-3a^2b)^2=b^6-6a^2b^4+9a^4b^2=10^2=100
Cộng theo vế đc a^6+b^6+3a^2b^4+3a^4b^2=(a^2+b^2)^3=25+100=125 =>S=a^2+b^2=5
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\)
Có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)với mọi x, y
Chứng minh: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)đúng với mọi x, y.
=> \(xy\le\frac{1}{4}\)=> \(-3xy\ge-\frac{3}{4}\)
=> \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
"=" xảy ra <=> (x -y)^2 =0 <=> x =y.