Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm:
Ta có: \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
Mà \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\le\frac{1}{16}\)
Thay vào ta tính được:
\(M\ge2\sqrt{x^2y^2\cdot\frac{1}{256x^2y^2}}+\frac{255}{256\cdot\frac{1}{16}}+2\)
\(=\frac{1}{8}+\frac{255}{16}+2=\frac{289}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_M=\frac{289}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Đánh máy xong hết lại bấm hủy-.-
a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3
MInA=3<=>x=y=z=1
b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)
Ta có: P = \(P=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right).\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right)\) (HĐT số 3)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{xy}\)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{-x.-y}{xy}\)
= (1 + 1/x)(1 + 1/y)
= 1 + 1/(xy) + (1/x + 1/y) = 1 + 1/(xy) + (x + y)/xy
= 1 + 1/(xy) + 1/(xy) = 1 + 2/(xy)
Áp dụng bđt: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1+2}{\frac{1}{4}}=9\)
Vậy PMin = 9 xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\) \(\frac{1}{2}\)
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\) ; \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=\left(x^2+y^2\right)+\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\ge\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4^2}}=\frac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =1/2
Em không chắc em làm đúng không nhưng ra kết quả khác cô Chi. Sai thì cô bỏ qua cho em ạ
\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\). Dễ thấy \(0< xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t+\frac{t}{t}\)trên \((0;\frac{1}{4}]\). Lấy t1<t2 \(\in(0;\frac{1}{4}]\)
Xét \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=\left(t_1-t_2\right)\left(1-\frac{1}{t_1t_2}\right)\)Vì \(t_1;t_2\in(0;\frac{1}{4}]\Rightarrow1< \frac{1}{t_1t_2}\)
Từ đó dễ ràng nhận ra: \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)>0\)Vậy \(f\left(t\right)\)nghịch biến trên \((0;\frac{1}{4}]\)
Do đó mà \(f\left(\frac{1}{4}\right)\le f\left(t\right)\forall t\in(0;\frac{1}{4}]\). Hay \(\frac{17}{4}\le f\left(t\right)\forall t\in(0;\frac{1}{4}]\)
=> \(\frac{17}{4}\le xy+\frac{1}{xy}\Rightarrow\frac{287}{16}\le\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2=P\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)