Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
H A B C D E O F
a) Xét tam giác AEC và tam giác ADB
có:
\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^o\)
\(\widehat{EAC}=\widehat{DAB}\)( đối đỉnh)
=> \(\Delta AEC~\Delta ADB\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AE.AB=AD.AC\)
b) Xét tam giác HCB có hai đường cao CD và BE cắt nhau tại A
=> A là trực tâm tam giác ACB
=> HA vuông BC
=> AF vuông BC
Xét tứ giác BFEH có:
\(\widehat{BFH}=\widehat{HEB}=90^o\)
=> BFEH nội tiếp
c) Ta có: \(\widehat{EOC}=2\widehat{EBC}\)( góc ở tâm có độ lớn gấp 2 lần góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Xét tứ giác ADBF có: \(\widehat{ADB}+\widehat{AFB}=90^o+90^o=180^o\)
=> ADBF nội tiếp
=> \(\widehat{ABF}=\widehat{ADF}\)( cùng chắn cung AF) hay \(\widehat{EBC}=\widehat{CDF}\)
Mặt khác \(\widehat{EDC}=\widehat{EBC}\)( cùng chắn cung EC)
=> \(\widehat{EOC}=2.\widehat{EBC}=\widehat{CDF}+\widehat{EDC}=\widehat{EDF}\)
=> \(\widehat{FOE}+\widehat{FDE}=\widehat{FOE}+\widehat{EOC}=180^o\)( hai góc bù nhau)
=> Tứ giác DEOF nội tiếp
Nhắc lại kiến thức
2 điểm đối xứng nhau qua 1 đường thẳng thì đường thẳng ấy là đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 điểm đó.
+ Cách tư duy: K là điểm đối xứng của H qua BC => BC phải là đường trung trực của đoạn HK tức là BC vuông góc với HK tại trung điểm của đoạn HK. Mà AF là đường cao của tam giác ABC => AF \(\perp\)BC tại F => Nếu K là điểm đối xứng của H qua BC thì K phải thuộc đường thẳng AF và F phải là trung điểm của HK.
Bạn giả sử IK || BC, vì BC vuông góc với AF (gt) => IK vuông góc với AF => K thuộc đường tròn đường kính IA (hay chính là K thuộc đường tròn (O)). Bài toán bây giờ trở thành bạn đi chứng minh K thuộc (O) là enter :)))
+ Cách chứng minh: Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại điểm M, và bây giờ đi chứng minh K trùng M
Giải:
Kéo dài AF cắt (O) tại M
ta có \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\)(cùng = \(\frac{1}{2}sđ\widebat{BM}\)) (1)
lại có: \(\widehat{BAM}=\widehat{BCE}\)cùng phụ với góc \(\widehat{B}\)(2)
Từ (1) và (2) => BC là đường phân giác của góc \(\widehat{HCM}\)
Xét tam giác HCM có BC vừa là đường cao vừa là đg phân giác => HCM là tam giác cân tại C => BC là đường trung trực của đoạn HM => M là điểm đối xứng của H qua BC => M trùng với K => K thuộc đường tròn (O)
Ta có \(\widehat{AKI}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => IK \(\perp\)AK mà BC \(\perp\)AK (do AK là đường cao) => IK//BC (2 đg thẳng cùng vuông góc với 1 đường thẳng thì chúng song song với nhau) => ĐPCM
a)Gọi I là trung điểm của tam giác BC
Áp dụng đường trung tuyến cạnh huyền của tam giác EBC và DBC
=>IE=ID=IB=IC
=> tứ giác BCDE nội tiếp. tâm đường tròn là I
b)AFK=90 ( dg cao thứ 3)
ACK=90 (chắn nữa dg tròn)
=>AFB=ACK
c)BD vg góc với AC
ACK=90 =>CK vg góc với AC
=>CK song song với BH
tuong tu CH song song voi BK
=>BHCK là hinh binh hanh
*vì I là trung điểm của BC
=>I cung la trung diem cua HK
=>H,I,K thang hang
a, Gọi I là trung điểm của BC
Tam giác BEC vuông tại E trung tuyến EI nên IE = IB = IC
Tam giác BFC vuông tại F trung tuyến FI nên IF = IB = IC
Vậy tứ giác BEFC cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính IB
b, Ta có :
\(\widehat{ACK}=90^0\) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
= > BH // CK ( cùng vuông góc với AC )
Tương tự ta cũng có CH // BK
= > BHCK là hình bình hành
= > 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà I là trung điểm của BC
= > H,I,K thẳng hàng ( đpcm )
c, Dễ thấy các tứ giác AFHE và BFHD nội tiếp nên :
\(\widehat{DFE}=\widehat{DFH}+\widehat{HFE}=\widehat{HBD}+\widehat{HAF}=2\widehat{HBD}=2.\left(90^0-\widehat{C}\right)=180^0-2\widehat{C}\)
( Do góc HBD và HAF cùng phụ với góc C )
Lại có :
Tam giác EIC cân tại I nên :
\(\widehat{EIC}=180^0-\widehat{IEC}-\widehat{ECI}=180^0-2\widehat{C}\)
\(=>\widehat{EIC}=\widehat{DFE}\)
= > Tứ giác DFEI là tứ giác nội tiếp
= > D,F,E,I cùng thuộc 1 đường tròn
a: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
I là trung điểm của BC
b: góc ABK=1/2*sđ cung AK=90 độ
=>BK//CH
góc ACK=1/2*sđ cung AK=90 độ
=>CK//BH
mà BK//CH
nên BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
=>H,I,K thẳng hàng
c: Theo câu b, ta được: H là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác DEKFO
OH vuông góc MN
=>MN là đường kính của (H)
=>HM=HN