Question

[Trương Trọng Tiến]

Cho tam giác nhọn ABC. Đường cao AD, BE, CF. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)ABC.

a) Chứng minh: \(OA⊥EF\)

b) Gọi P là chu vi \(\Delta\)DEF. Chứng minh: \(S_{ABC}\le\frac{P^2+R^2}{4}\)

Answer 1

[Lầy Văn Lội]

A B C D E O H F

a) Tự chứng minh 

b) Diện tích của tứ giác có 2 đường chéo vuông góc với nhau là nửa tích 2 đường chéo.

Theo câu a, \(OA⊥EF\)nên \(S_{AEOF}=\frac{1}{2}OA.EF=\frac{1}{2}R.EF\)

tương tự:\(S_{BDOF}=\frac{1}{2}DF.OB=\frac{1}{2}R.DF\);\(S_{DOEC}=\frac{1}{2}.OC.DE=\frac{1}{2}R.DE\)

\(\Rightarrow S_{AEOF}+S_{BDOF}+S_{DOEC}=\frac{1}{2}R.P\)

hay \(S_{ABC}=\frac{1}{2}R.P=\frac{1}{4}.2RP\le\frac{R^2+P^2}{4}\)(Theo BĐT AM-GM)