Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
Khi đó ma, ha là các đường tương ứng với a.
Gọi A' là trung điểm của BC. Các điểm B', C' được xđ tương tự
Ta có: \(\sum\frac{m_a}{h_a}=\frac{\sum m_aa}{2S}\le\frac{\sum\left(R+OA'\right)a}{2S}=\frac{\sum Ra+2S}{2S}=\frac{R\left(a+b+c\right)}{2S}+1\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{R}{r}\ge\frac{R\left(a+b+c\right)}{2S}\)
\(\Leftrightarrow2S\ge\left(a+b+c\right)r\)
Lại có: \(r=\frac{2S}{a+b+c}\)
Do đó điều trên luôn đúng. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABC là tg đều
Tử số cũng biến thiên theo ha, hb, hc ...Suy luận được như trên chỉ khi Tử số là một số A không đổi.
Gọi S là diện tích tam giác, r là bánh kính đường tròn nội tiếp
Ta có
ha=2S/a =r(a+b+c)/a
=> ha^2 + hb^2 + hc^2 = r^2(a+b+c)^2 * (1/a^2+1/b^2+1/c^2)}
=> T = (a+b+c)^2/(ha^2+hb^2+hc^2) =
=1/r^2/(1/a^2+1/b^2+1/c^2)
Ta c/m (1/a^2+1/b^2+1/c^2) <=1/4r^2 (*)
=> T<=1/4
=> Max(T) = 1/4 Khi tam giác đều
c/m bất đẳng thức (*)
S = pr
S= √p(p-a)(p-b)(p-c)
=> pr= √p(p-a)(p-b)(p-c)
=> (pr^2) = (p-a)(p-b)(p-c)
=> 1/r^2 = p/(p-a)(p-b)(p-c) = 1/((p-a)(p-b) + 1/(p-b)(p-c) + 1/(p-a)(p-c)
=> 1/4r^2 = 1/[a^2 - (b-c)^2] + 1/[b^2 - (a-c)^2] + 1/[c^2 - (b-a)^2] >= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
=> 1/4r^2>= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
=> (1/r^2)/ 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 >= 1/4
=> Dấu bằng xảy ra khi ha = hb = hc => Khi đó ABC là tam giác đều
hình bạn tự vẽ nhé
a) Ta có : \(\frac{HI}{AI}=\frac{S_{HIC}}{S_{AIC}}=\frac{S_{HIB}}{S_{AIB}}=\frac{S_{HIC}+S_{HIB}}{S_{AIC}+S_{AIB}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự : \(\frac{HK}{BK}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\); \(\frac{HS}{CS}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{HI}{AI}+\frac{HK}{BK}+\frac{HS}{CS}=\frac{S_{AHC}+S_{BHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=1\)
b) tương tự câu a : \(\frac{HA_1}{AI}=\frac{2HI}{AI}=\frac{2S_{BHC}}{S_{ABC}}\).....
Hay :))
A B C C1 B1 A1 D E F H1 G1 G2 H3
\(\Delta ABC\) có \(C_1\) là trung điểm của \(AB\) và \(B_1\) là trung điểm của \(AC\) nên \(B_1C_1\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\)\(B_1C_1=\frac{1}{2}BC=A_1B=A_1C\)
Và \(B_1C_1//BC\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{AC_1B_1}=\widehat{C_1BA_1}\) ( hai góc đồng vị )
Xét \(\Delta AB_1C_1\) và \(\Delta A_1BC_1\) có :
\(AC_1=BC_1\) \(\left(GT\right)\)
\(\widehat{AC_1B_1}=\widehat{C_1BA_1}\) ( chứng minh trên )
\(B_1C_1=A_1B\) ( chứng minh trên )
Do đó : \(\Delta AB_1C_1=\Delta A_1BC_1\) \(\left(c-g-c\right)\)
Chứng minh tương tự với các \(\Delta AB_1C_1\) và \(\Delta A_1B_1C\)\(;\)\(\Delta A_1BC_1\) và \(\Delta A_1B_1C\)\(;\)\(\Delta A_1BC_1\) và \(\Delta A_1B_1C_1\) ta có :
\(\Delta AB_1C_1=\Delta A_1BC_1=\Delta A_1B_1C=\Delta A_1B_1C_1\)
Mà \(S_{AB_1C_1}+S_{A_1BC_1}+S_{A_1B_1C}+S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\)\(S_{AB_1C_1}+S_{A_1B_1C_1}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)
Bài toán trở thành Chứng minh \(S_{A_1EC_1DB_1F}=S_{AB_1C_1}+S_{A_1B_1C_1}\)
Do 4 tam giác bằng nhau nên các tam giác tạo từ các đường cao của chúng tương ứng bằng nhau
\(\Rightarrow\)\(\Delta C_1EA_1=\Delta ADB_1\)\(;\)\(\Delta B_1FA_1=\Delta ADC_1\)
Mà \(S_{A_1EC_1DB_1F}=S_{C_1EA_1}+S_{B_1FA_1}+S_{C_1DB_1}+S_{A_1B_1C_1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(S_{A_1EC_1DB_1F}=\left(S_{ADB_1}+S_{ADC_1}+S_{C_1DB_1}\right)+S_{A_1B_1C_1}=S_{AB_1C_1}+S_{A_1B_1C_1}\) ( điều phải chứng minh )
...
A B C A B C 1 1 1 D E F H
Gọi H là trực tâm của \(\Delta\)A1B1C1.
Ta thấy: \(\Delta\)ABC có A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB
Cho nên: \(S_{A_1B_1C_1}=S_{AB_1C_1}=S_{BA_1C_1}=S_{CA_1B_1}=\frac{S_{ABC}}{4}\). Ta đi chứng minh \(S_{A_1EC_1DB_1F}=2S_{A_1B_1C_1}\)
Xét \(\Delta\)A1B1C1: H là trực tâm => A1H vuông góc B1C1. Mà B1C1 // BC => A1H vuông góc BC
Nhưng: C1E cũng vuông góc BC nên A1H // C1E. Tương tự: C1H // A1E
Do đó: Tứ giác A1HC1E là hình bình hành => \(S_{A_1HC_1}=S_{A_1EC_1}=\frac{S_{A_1HC_1E}}{2}\)
Tương tự, ta có: \(S_{A_1HB_1}=S_{A_1FB_1}=\frac{S_{A_1HB_1F}}{2};S_{B_1HC_1}=S_{B_1DC_1}=\frac{S_{B_1HC_1D}}{2}\)
\(\Rightarrow S_{A_1HC_1}+S_{A_1HB_1}+S_{B_1HC_1}=\frac{S_{A_1EC_1DB_1F}}{2}\Rightarrow S_{A_1EC_1DB_1F}=2.S_{A_1B_1C_1}=2.\frac{S_{ABC}}{4}=\frac{S_{ABC}}{2}\) (đpcm).
(P/S: Các bn có thể tham khảo thêm cách này)
bạn có học toán thầy minh ko? mình cũng đang vướng câu này
a chào sơn