Question

[Nguyễn Ngọc Thanh Trúc]

Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B .Đường tròn đường kính cắt BC tại E , các đường thẳng CD và AE lần lượt cắt đường tròn tại F và G

1.chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD

2.chứng minh tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp

3.chứng minh AF //FG

4.Chứng minh các đường thẳng AC , DE,FB đồng quy

Answer 1

[Nguyễn Thành Trương]

Câu 1 và 2 chắc làm được mà đúng không?

Câu 3:
Ta có: tứ giác AFBC nội tiếp (câu b) $\Rightarrow \widehat{FBA}=\widehat{FCA}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (1)
Lai có: Tứ giác ADEC nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DEA}=\widehat{DCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2)
Từ 1 và 2 $\Rightarrow \widehat{FBA}=\widehat{DEA} (=\widehat{FCA})$
==> sđ cung FD= sđ cung DG => FD = DG
Suy ra: $\Delta FBD=\Delta GBD$ (ch-cgv) => BF=BG
=> B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng FG (3)
Lại có: $\Delta FBA=\Delta GBA$ (cgc) => AF=AG
=> A nằm trên đương trung trực của đoạn thẳng FG (4)
Từ 3 và 4 => AB là đương trung trực của FG => $AB\perp FG$
Mặt khác: tam giác ABC vuông tại A=> $AB\perp AC$
Suy ra: $FG//AC$ ( cùng vuông góc với AB) đpcm
Câu 4: Ta có: $\widehat{BED}=90^{\circ} ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) \Rightarrow DE\perp BE hay DE\perp BC$ (5)
$\widehat{BFD}=90^{\circ}( ........) \Rightarrow BF\perp FD hay BF\perp DC$ (6)
$\widehat{BAC}=90^{\circ} (gt) \Rightarrow CA\perp BA hay CA\perp BD$ (7)
Từ 5, 6 ,7=> DE, BF, CA đều là đương cao của tam giác DBC
=> DE,BF,CA đồng quy( đpcm)