Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Áp dụng hệ quả định lý thales:
\(\frac{MQ}{CD}+\frac{MP}{AB}=\frac{AM}{AC}+\frac{MC}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:
\(\left(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\right)\left(MP^2+MQ^2\right)\ge\left(\frac{MP}{AB}+\frac{MQ}{CD}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\ge\frac{1}{MP^2+MQ^2}\)
dấu = xảy ra khi \(\frac{MC}{AM}=\frac{CD^2}{AB^2}\)
b) chưa nghĩ :v
Lời giải:
Tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $AM$ bằng 1 nửa cạnh đối diện $BC$ nên $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ (tính chất quen thuộc)
$\Rightarrow APQ$ là tam giác vuông tại $A$
Xét tam giác vuông $APQ$ có đường cao $AG$, áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{AQ^2}=\frac{1}{AG^2}(1)$
Mà $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{BC}{2}=\frac{BC}{3}(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{1}{AP^2}+\frac{1}{AQ^2}=\frac{9}{BC^2}$ (đpcm)