Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Áp dụng hệ quả định lý thales:
\(\frac{MQ}{CD}+\frac{MP}{AB}=\frac{AM}{AC}+\frac{MC}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:
\(\left(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\right)\left(MP^2+MQ^2\right)\ge\left(\frac{MP}{AB}+\frac{MQ}{CD}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\ge\frac{1}{MP^2+MQ^2}\)
dấu = xảy ra khi \(\frac{MC}{AM}=\frac{CD^2}{AB^2}\)
b) chưa nghĩ :v
A B C M O D E F I P Q T
1) Ta có 4 điểm B,O,C,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (^MBO = ^MCO = 900) (1)
Do MI // AB và MB tiếp xúc với (O) tại B nên ^CIM = ^CAB = ^CBM
=> 4 điểm B,I,C,M cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm M,B,O,I,C cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
2) Theo câu a thì M,B,I,C cùng thuộc (OM), có BC giao IM tại F => FI.FM = FB.FC
Đường tròn (O) có dây BC giao DE tại F nên FB.FC = FD.FE
Do vậy FI.FM = FD.FE => \(\frac{FI}{FE}=\frac{FD}{FM}\) (đpcm).
3) Điểm I thuộc đường tròn (OM) => ^OIM = 900 hay ^QIM = 900
Dễ thấy FQ.FT = FB.FC = FI.FM, suy ra tứ giác QMTI nội tiếp => ^QTM = ^QIM = 900
=> \(\Delta\)QTM vuông tại T. Theo ĐL Pytagoras: \(TQ^2+TM^2=QM^2\)
Vậy thì \(\frac{TQ^2+TM^2}{MQ^2}=1.\)