Question

[ITACHY]

Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. CMR: tanB.tanC=2

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$BH$ cắt $AC$ tại $M$. Do $H$ là trực tâm nên $AM\perp AC$
Ta có:
\(\widehat{HBD}=90^0-\widehat{BHD}=90^0-\widehat{MHA}=\widehat{MAH}=\widehat{CAD}\)

Xét tam giác $BHD$ và $ACD$ có:

\(\widehat{HBD}=\widehat{CAD}\) (cmt)

\(\widehat{BDH}=\widehat{ADC}(=90^0)\)

\(\Rightarrow \triangle BHD\sim \triangle ACD(g.g)\Rightarrow \frac{HD}{BD}=\frac{CD}{AD}\)

\(\Leftrightarrow \frac{AD}{2BD}=\frac{CD}{AD}\) (do $H$ là trung điểm cùa $AD$ nên $2HD=AD$)

\(\Leftrightarrow \frac{AD}{BD}.\frac{AD}{CD}=2\)

\(\Leftrightarrow \tan B.\tan C=2\) (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: