Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}\). Từ đó suy ra cách dựng điểm I:
A B C I
b) Với cách lấy điểm I như trên, ta có điểm I cố định. Khi đó MN đi qua I, thật vậy:
\(\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{MI}+\left(2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=2\overrightarrow{MI}\)
Suy ra I là trung điểm MN hay MN đi qua điểm I cố định (đpcm).
c) \(\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MC}\)
Đặt K là điểm sao cho \(\overrightarrow{KA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\hept{\begin{cases}K\in\left[AC\right]\\KA=\frac{1}{2}KC\end{cases}}\)tức K xác định
Khi đó \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MK}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MK}\), suy ra MP đi qua K cố định (đpcm).
\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}-\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)=2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{CN}=x\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\Rightarrow\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=x\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\left(x+1\right)\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}\left(2\overrightarrow{BC}-2\left(x+1\right)\overrightarrow{AC}\right)\)
Để A; M; N thẳng hàng \(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AN}\)
\(\Rightarrow2\left(x+1\right)=1\Rightarrow x+1=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{BQ}\)
\(\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{QC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BC}\)