Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét ΔAMB vuông tại M có ME là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AM^2\left(1\right)\)
Xét ΔANC vuông tại N có ND là đường cao
nên \(AN^2=AD\cdot AC\left(2\right)\)
Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
góc EAC chung
Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC
Suy ra: AD/AE=AB/AC
hay \(AD\cdot AC=AB\cdot AE\left(3\right)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AM=AN
hay ΔAMN cân tại A
Trên tia đối của tia BA lấy I sao cho BI = DQ
\(\Delta DCQ=\Delta BCI\left(c.g.c\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}CQ=CI\\\widehat{DCQ}=\widehat{BCI}\end{cases}}\)
Ta có: \(\widehat{QCI}=\widehat{QCB}+\widehat{BCI}=\widehat{QCB}+\widehat{DCQ}=\widehat{BCD}=90^0\)
Ta có: \(AP+AQ+PQ=2AB\)
\(\Rightarrow AP+AQ+PQ=AP+PB+AQ+QD\)
\(\Rightarrow PQ=PB+QD\)
\(\Rightarrow PQ=PB+BI\Rightarrow PQ=PI\)
\(\Delta PCQ=\Delta PCI\left(c.c.c\right)\Rightarrow\widehat{PCQ}=\widehat{PCI}=\frac{\widehat{QCI}}{2}=\frac{90^0}{2}=45^0\)
Áp dụng HTL tam giác AMC vuông tại M và ANB vuông tại N có
\(\left\{{}\begin{matrix}AM^2=AD\cdot AC\left(1\right)\\AN^2=AE\cdot AB\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^0\\\widehat{BAC}.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AEC\sim\Delta ADB\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\)
\(\Rightarrow AE\cdot AB=AC\cdot AD\left(3\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\\ \RightarrowĐpcm\)