Question

[buileanhtrung]

Cho tam giác ABC nhọn, AB<AC, nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O cắt BC tại T. Đường tròn tâm T bán kính TA giao với BC tại K.

a) CMR: \(TA^2=TB.TC\)và AK là phân giác \(\widehat{BAC}\)

b) Lấy \(P\in\widebat{AK}\)nhỏ của đường tròn tâm T. CM: TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC

c) Gọi S, E, F là giao điểm thứ hai của AP, BP, CP với đường tròn tâm O. CMR: \(SO\perp EF\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C T K O P S E F G I

a) Áp dụng tính chất của góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, ta có: 

\(\widehat{TAB}=\widehat{TCA}\)

Suy ra \(\Delta\)TAB ~ \(\Delta\)TCA (g.g) \(\Rightarrow\frac{TA}{TC}=\frac{TB}{TA}\Rightarrow TA^2=TB.TC\)(đpcm)

Hai điểm A và K cùng nằm trên (T) nên \(\Delta\)ATK cân tại T => \(\widehat{TAK}=\widehat{TKA}\)(1)

Dễ thấy góc TKA là góc ngoài của \(\Delta\)ACK => \(\widehat{TKA}=\widehat{CAK}+\widehat{ACK}\)

\(\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{TKA}-\widehat{ACK}\)(2)

Ta có: \(\widehat{BAK}=\widehat{TAK}-\widehat{TAB}=\widehat{TAK}-\widehat{ACB}\)(Do \(\widehat{TAB}=\widehat{ACB}\))

hay \(\widehat{BAK}=\widehat{TAK}-\widehat{ACK}\)(3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)=> AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm).

b) Ta có: \(\frac{TA}{TC}=\frac{TB}{TA}\)=> \(\frac{TP}{TC}=\frac{TB}{TP}\)(P và A thuộc (T))

Từ đó ta chứng minh được: \(\Delta\)TBP ~ \(\Delta\)TPC (c.g.c) => \(\widehat{TPB}=\widehat{TCP}\)

Xét \(\Delta\)BPC: Tia PT nằm ngoài tam giác thỏa mãn \(\widehat{TPB}=\widehat{TCP}\)

Vậy nên TP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)BPC (đpcm).

c) Gọi giao điểm của của AT và EF kéo dài là G, EF cắt AP tại điểm I.

Ta thấy tứ giác BEFC nội tiếp (O) => \(\widehat{BCP}=\widehat{EFP}\)hay \(\widehat{EFP}=\widehat{TCP}\)

Mà \(\widehat{TPB}=\widehat{TCP}\)(cmt) => \(\widehat{EFP}=\widehat{TPB}\)

Vì 2 góc trên nằm ở vị trí so le trong nên TP // EF hay TP // GI

Lại có: \(\Delta\)ATP cân tại T có GI // TP (G\(\in\)AT; I\(\in\)AP) => \(\Delta\)AGI cân tại G => \(\widehat{GAI}=\widehat{GIA}\)(4)

 \(\widehat{EAI}=\widehat{GAI}-\widehat{GAE}\)(5);  \(\widehat{FAI}=\widehat{GIA}-\widehat{AFG}\)(6)

Dễ chứng minh \(\widehat{GAE}=\widehat{AFG}\)(7)

Từ (4); (5); (6) và (7) => \(\widehat{EAI}=\widehat{FAI}\) hay  \(\widehat{EAS}=\widehat{FAS}\)

Mà tứ giác AESF nội tiếp (O) => \(\widehat{EAS}=\widehat{EFS}\)và \(\widehat{FAS}=\widehat{FES}\)

Từ đó ta có: \(\widehat{EFS}=\widehat{FES}\)=> Tam giác ESF cân tại S => S nằm trên đường trung trực của EF

Mà EF là dây cung của (O) nên O cũng nằm trên trung trực của EF

Do đó SO là trung trực của EF hay \(SO\perp EF\)(đpcm).

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

Xin lỗi bạn, 2 góc EFP và TPB là hai góc đồng vị, không phải so le trong nhé.