Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(hình ảnh mag tính chất minh họa nên tỉ lệ k đc chính xác)
A B C H Q P M N
a) Tam giác ABC có QA = QP; PA = PC
=> QP là đường trung bình của tam giác ABC
=> QP // BC
mà AH vuông góc với BC
=> QP vuông góc với AH (1)
Gọi N là giao điểm của AH và PQ
Tam giác ABH có: QA = QB; QN // BH
=> NA = NH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: PQ là trung trực của AH
b) Tứ giác MPQH có: QP // HM
=> MPQH là hình thang (3)
Tam giác AHB vuông tại H, có HQ là đường trung tuyến
=> HQ = QB = QA = AB/2
=> tgiac QBH cân tại Q
=> góc QBH = góc QHB
MP là đường trung bình tgiac ABC
=> MP // AB
=> góc PMC = góc ABH
=> góc PMC = góc QHB
=> góc PMH = góc QHM (4)
Từ (3) và (4) suy ra: MPQH là hình thang cân
A B C M P Q H N
a) Gọi \(QP\bigcap AH ={N}\)
Xét \(\Delta ABC\)có Q là tđ của AB; P là trung điểm AC
=> QP là đường TB của \(\Delta ABC\)
=> QP//BC hay QN//BH \(\left(N\in QP;H\in BC\right)\)
Tao có: \(\hept{\begin{cases}QP//BC\\AH\perp BC\end{cases}\Rightarrow QP\perp AH}\)(1)
Xét \(\Delta AHB\)có Q là tđ của AC; \(QN//BH \); \(N\in AH\)
=> N là trung điểm AH (2)
Từ (1); (2) => đpcm
b) Ta có HM // QP (BC//QP; \(H,M \in BC \))
=> MPQH là hình thang (3)
Xét \(\Delta ABC\)có Q là tđ AB; M là tđ BC
=> QM là đường trung bình
=>QM= \( 1\over 2\) AC (4)
Xét \(\Delta AHC\)vương tại H có HP là đường trung tuyến của AC
=> HP = \( 1\over 2\) AC (5)
Từ (4) (5) => QM=HP (6)
Từ (3) (6) => đpcm
Bài 1 :
B A C H K E D M N
a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\AN=NC\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN\text{//}BC\) hay \(MN\text{//}HK\left(1\right)\)
Dễ thấy MNKB là hình bình hành => \(\widehat{MNK}=\widehat{ABC}=\widehat{MHB}\)(Vì tam giác AHB vuông có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.) . Mặt khác : \(\widehat{MNK}=\widehat{CKN}\)(hai góc ở vị trí so le trong)
=> \(\widehat{MHB}=\widehat{CKN}\). Mà hai góc này lần lượt bù với \(\widehat{MHK}\)và \(\widehat{HKN}\)=> \(\widehat{MHK}=\widehat{HKN}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang cân.
b) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác AED => HK // ED hay BC // ED (3)
Tương tự , MH và NK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ABE và ACD
=> BE = 2MH ; CD = 2NK mà MH = NK (MNKH là hình thang cân - câu a)
=> BE = CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân.
A B C D E N M P
Bài 2 :
a) Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)
Xét tam giác BAE và tam giác CAD có : \(AB=AD\left(gt\right)\); \(AC=AE\left(gt\right)\) ; \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow CD=BE\)
b) Dễ dàng chứng minh được MP và PN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ACD và tam giác BEC
=> MP = 1/2CD ; PN = 1/2 BE mà CD = BE => MP = PN => tam giác MNP cân tại P
Để chứng minh góc MPN = 90 độ , hãy chứng minh BE vuông góc với CD.
bài này dễ lắm
câu a bạn tự làm nha vì nó quá dễ rồi
b) Mình xin đính chính lại là P là trung điểm của AB chứ không phải B, bạn viết lộn rùi
Gọi O là giao điểm của PN và AH
Ta có: P là trung điểm của AB (gt)
BO// BH ( t/c đướng trung bình, đã cm ở câu a)
=> O là trung điểm của AH => AO = OH
Xét tam giác APO và tam giác HPO có:
BO là cạnh chung
Góc POH = góc POA = 90 độ ( PN là đướng trung trực của AH )
AO = HO (cmt)
=> Tam giác APO = tam giác HPO ( c-g-c)
=> Góc OPH = góc OPA ( 2 góc tương ứng) (5)
Ta có: PN là đướng trung bình của tam giác ABC ( cm ở câu a)
=> PN = \(\frac{1}{2}\)BC (1) => PN // BC
Mà M là trung điểm của BC (gt) => BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC (2)
Từ (1) và (2) => PN = BM = MC hay PN = BM, PN = BM (3)
Ta lại có: PN//BC => PN//BM (4)
Từ (3) và ( 4) => PNMB là hình bình bình hành => NM //PB => NM//AP => góc OPA = góc MNP ( cặp góc slt) (6)
Mà PN//HM ( PN//BC, t/c đướng trung bình) => MNPH là hình thang (7)
Từ(5), (6) và (7) MNPH là hình thang cân